Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38096 / 36631
↖ ↑ ↗
← S 20.750977°
E 29.267578°		 ← 571.23 m → S 20.750977°
E 29.273072°		 →
↑
571.22 m
↓
↑
571.22 m
↓
S 20.756114°
E 29.267578°		 ← 571.21 m →
326 292 m²		 S 20.756114°
E 29.273072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581306457519531 y=0.558952331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581306457519531 × 216)
    floor (0.581306457519531 × 65536)
    floor (38096.5)     		tx = 38096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558952331542969 × 216)
    floor (0.558952331542969 × 65536)
    floor (36631.5)     		ty = 36631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38096 / 36631 ti = "16/38096/36631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38096/36631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38096 ÷ 216
    38096 ÷ 65536     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36631 ÷ 216
    36631 ÷ 65536     		y = 0.558944702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558944702148438 × 2 - 1) × π
    -0.117889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370360486464554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370360486464554))-π/2
    2×atan(0.690485375135798)-π/2
    2×0.604311726317274-π/2
    1.20862345263455-1.57079632675     		φ = -0.36217287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36217287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.750977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38096 KachelY 36631 0.51081560 -0.36217287 29.267578 -20.750977
    Oben rechts KachelX + 1 38097 KachelY 36631 0.51091148 -0.36217287 29.273072 -20.750977
    Unten links KachelX 38096 KachelY + 1 36632 0.51081560 -0.36226253 29.267578 -20.756114
    Unten rechts KachelX + 1 38097 KachelY + 1 36632 0.51091148 -0.36226253 29.273072 -20.756114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36217287--0.36226253) × R
    8.96600000000469e-05 × 6371000     		dl = 571.223860000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36217287--0.36226253) × R
    8.96600000000469e-05 × 6371000     		dr = 571.223860000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51091148) × cos(-0.36217287) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.93512916881307 × 6371000     		do = 571.225036760259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51091148) × cos(-0.36226253) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935097397890376 × 6371000     		du = 571.205629445111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36217287)-sin(-0.36226253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93512916881307-0.935097397890376)×R²
    abs(0.51091148-0.51081560)×3.17709226936858e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.17709226936858e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.17709226936858e-05×40589641000000     		ar = 326291.827684756m²