Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38073 / 36649
↖ ↑ ↗
← S 20.843412°
E 29.141235°		 ← 570.88 m → S 20.843412°
E 29.146729°		 →
↑
570.84 m
↓
↑
570.84 m
↓
S 20.848545°
E 29.141235°		 ← 570.86 m →
325 874 m²		 S 20.848545°
E 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580955505371094 y=0.559226989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580955505371094 × 216)
    floor (0.580955505371094 × 65536)
    floor (38073.5)     		tx = 38073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559226989746094 × 216)
    floor (0.559226989746094 × 65536)
    floor (36649.5)     		ty = 36649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38073 / 36649 ti = "16/38073/36649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38073/36649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38073 ÷ 216
    38073 ÷ 65536     		x = 0.580947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36649 ÷ 216
    36649 ÷ 65536     		y = 0.559219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580947875976562 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559219360351562 × 2 - 1) × π
    -0.118438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.372086214850876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50861050} λ = 0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372086214850876))-π/2
    2×atan(0.689294812512914)-π/2
    2×0.603505083823779-π/2
    1.20701016764756-1.57079632675     		φ = -0.36378616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36378616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.843412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38073 KachelY 36649 0.50861050 -0.36378616 29.141235 -20.843412
    Oben rechts KachelX + 1 38074 KachelY 36649 0.50870638 -0.36378616 29.146729 -20.843412
    Unten links KachelX 38073 KachelY + 1 36650 0.50861050 -0.36387576 29.141235 -20.848545
    Unten rechts KachelX + 1 38074 KachelY + 1 36650 0.50870638 -0.36387576 29.146729 -20.848545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36378616--0.36387576) × R
    8.95999999999675e-05 × 6371000     		dl = 570.841599999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36378616--0.36387576) × R
    8.95999999999675e-05 × 6371000     		dr = 570.841599999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50861050-0.50870638) × cos(-0.36378616) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		do = 570.875130895728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50861050-0.50870638) × cos(-0.36387576) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		du = 570.855654025037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36378616)-sin(-0.36387576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934556352217467-0.934524467428237)×R²
    abs(0.50870638-0.50861050)×3.18847892295526e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.18847892295526e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.18847892295526e-05×40589641000000     		ar = 325873.714234604m²