Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38071 / 36667
↖ ↑ ↗
← S 20.935789°
E 29.130249°		 ← 570.46 m → S 20.935789°
E 29.135742°		 →
↑
570.52 m
↓
↑
570.52 m
↓
S 20.940920°
E 29.130249°		 ← 570.44 m →
325 458 m²		 S 20.940920°
E 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580924987792969 y=0.559501647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580924987792969 × 216)
    floor (0.580924987792969 × 65536)
    floor (38071.5)     		tx = 38071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559501647949219 × 216)
    floor (0.559501647949219 × 65536)
    floor (36667.5)     		ty = 36667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38071 / 36667 ti = "16/38071/36667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38071/36667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38071 ÷ 216
    38071 ÷ 65536     		x = 0.580917358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36667 ÷ 216
    36667 ÷ 65536     		y = 0.559494018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580917358398438 × 2 - 1) × π
    0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559494018554688 × 2 - 1) × π
    -0.118988037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.373811943237198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50841876} λ = 0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373811943237198))-π/2
    2×atan(0.688106302705934)-π/2
    2×0.602698936488931-π/2
    1.20539787297786-1.57079632675     		φ = -0.36539845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36539845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.935789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38071 KachelY 36667 0.50841876 -0.36539845 29.130249 -20.935789
    Oben rechts KachelX + 1 38072 KachelY 36667 0.50851463 -0.36539845 29.135742 -20.935789
    Unten links KachelX 38071 KachelY + 1 36668 0.50841876 -0.36548800 29.130249 -20.940920
    Unten rechts KachelX + 1 38072 KachelY + 1 36668 0.50851463 -0.36548800 29.135742 -20.940920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36539845--0.36548800) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dl = 570.523049999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36539845--0.36548800) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dr = 570.523049999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50841876-0.50851463) × cos(-0.36539845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933981460570187 × 6371000     		do = 570.464453522995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50841876-0.50851463) × cos(-0.36548800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9339494586879 × 6371000     		du = 570.444907164677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36539845)-sin(-0.36548800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933981460570187-0.9339494586879)×R²
    abs(0.50851463-0.50841876)×3.20018822870249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20018822870249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20018822870249e-05×40589641000000     		ar = 325457.544334132m²