Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38070 / 36671
↖ ↑ ↗
← S 20.956310°
E 29.124756°		 ← 570.45 m → S 20.956310°
E 29.130249°		 →
↑
570.40 m
↓
↑
570.40 m
↓
S 20.961440°
E 29.124756°		 ← 570.43 m →
325 374 m²		 S 20.961440°
E 29.130249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580909729003906 y=0.559562683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580909729003906 × 216)
    floor (0.580909729003906 × 65536)
    floor (38070.5)     		tx = 38070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559562683105469 × 216)
    floor (0.559562683105469 × 65536)
    floor (36671.5)     		ty = 36671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38070 / 36671 ti = "16/38070/36671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38070/36671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38070 ÷ 216
    38070 ÷ 65536     		x = 0.580902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36671 ÷ 216
    36671 ÷ 65536     		y = 0.559555053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580902099609375 × 2 - 1) × π
    0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559555053710938 × 2 - 1) × π
    -0.119110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.374195438434158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50832288} λ = 0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.374195438434158))-π/2
    2×atan(0.687842467836784)-π/2
    2×0.60251986006073-π/2
    1.20503972012146-1.57079632675     		φ = -0.36575661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36575661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.956310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38070 KachelY 36671 0.50832288 -0.36575661 29.124756 -20.956310
    Oben rechts KachelX + 1 38071 KachelY 36671 0.50841876 -0.36575661 29.130249 -20.956310
    Unten links KachelX 38070 KachelY + 1 36672 0.50832288 -0.36584614 29.124756 -20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 38071 KachelY + 1 36672 0.50841876 -0.36584614 29.130249 -20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36575661--0.36584614) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dl = 570.395630000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36575661--0.36584614) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dr = 570.395630000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50832288-0.50841876) × cos(-0.36575661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933853422411126 × 6371000     		do = 570.445745182527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50832288-0.50841876) × cos(-0.36584614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 570.426182858907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36575661)-sin(-0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933853422411126-0.933821397730396)×R²
    abs(0.50841876-0.50832288)×3.20246807293811e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20246807293811e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20246807293811e-05×40589641000000     		ar = 325374.181289725m²