Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38068 / 36660
↖ ↑ ↗
← S 20.899871°
E 29.113770°		 ← 570.60 m → S 20.899871°
E 29.119263°		 →
↑
570.59 m
↓
↑
570.59 m
↓
S 20.905003°
E 29.113770°		 ← 570.58 m →
325 572 m²		 S 20.905003°
E 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580879211425781 y=0.559394836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580879211425781 × 216)
    floor (0.580879211425781 × 65536)
    floor (38068.5)     		tx = 38068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559394836425781 × 216)
    floor (0.559394836425781 × 65536)
    floor (36660.5)     		ty = 36660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38068 / 36660 ti = "16/38068/36660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38068/36660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38068 ÷ 216
    38068 ÷ 65536     		x = 0.58087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36660 ÷ 216
    36660 ÷ 65536     		y = 0.55938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58087158203125 × 2 - 1) × π
    0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50813114} λ = 0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373140826642517))-π/2
    2×atan(0.688568257259929)-π/2
    2×0.603012379277577-π/2
    1.20602475855515-1.57079632675     		φ = -0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38068 KachelY 36660 0.50813114 -0.36477157 29.113770 -20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 38069 KachelY 36660 0.50822701 -0.36477157 29.119263 -20.899871
    Unten links KachelX 38068 KachelY + 1 36661 0.50813114 -0.36486113 29.113770 -20.905003
    Unten rechts KachelX + 1 38069 KachelY + 1 36661 0.50822701 -0.36486113 29.119263 -20.905003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36477157--0.36486113) × R
    8.95599999999885e-05 × 6371000     		dl = 570.586759999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36477157--0.36486113) × R
    8.95599999999885e-05 × 6371000     		dr = 570.586759999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50813114-0.50822701) × cos(-0.36477157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 570.601156468386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50813114-0.50822701) × cos(-0.36486113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934173321705807 × 6371000     		du = 570.58163995817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36477157)-sin(-0.36486113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934173321705807)×R²
    abs(0.50822701-0.50813114)×3.19530140818758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19530140818758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19530140818758e-05×40589641000000     		ar = 325571.897408041m²