Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37676 / 36636
↖ ↑ ↗
← S 20.776659°
E 26.960449°		 ← 571.07 m → S 20.776659°
E 26.965942°		 →
↑
571.10 m
↓
↑
571.10 m
↓
S 20.781795°
E 26.960449°		 ← 571.05 m →
326 130 m²		 S 20.781795°
E 26.965942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574897766113281 y=0.559028625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574897766113281 × 216)
    floor (0.574897766113281 × 65536)
    floor (37676.5)     		tx = 37676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559028625488281 × 216)
    floor (0.559028625488281 × 65536)
    floor (36636.5)     		ty = 36636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37676 / 36636 ti = "16/37676/36636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37676/36636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37676 ÷ 216
    37676 ÷ 65536     		x = 0.57489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36636 ÷ 216
    36636 ÷ 65536     		y = 0.55902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57489013671875 × 2 - 1) × π
    0.1497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47054861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370839855460754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47054861} λ = 0.47054861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370839855460754))-π/2
    2×atan(0.690154457176869)-π/2
    2×0.604087609392619-π/2
    1.20817521878524-1.57079632675     		φ = -0.36262111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47054861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36262111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.776659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37676 KachelY 36636 0.47054861 -0.36262111 26.960449 -20.776659
    Oben rechts KachelX + 1 37677 KachelY 36636 0.47064448 -0.36262111 26.965942 -20.776659
    Unten links KachelX 37676 KachelY + 1 36637 0.47054861 -0.36271075 26.960449 -20.781795
    Unten rechts KachelX + 1 37677 KachelY + 1 36637 0.47064448 -0.36271075 26.965942 -20.781795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36262111--0.36271075) × R
    8.96400000000019e-05 × 6371000     		dl = 571.096440000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36262111--0.36271075) × R
    8.96400000000019e-05 × 6371000     		dr = 571.096440000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47054861-0.47064448) × cos(-0.36262111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934970260314034 × 6371000     		do = 571.068400313516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47054861-0.47064448) × cos(-0.36271075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934938458909279 × 6371000     		du = 571.048976404422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36262111)-sin(-0.36271075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934970260314034-0.934938458909279)×R²
    abs(0.47064448-0.47054861)×3.18014047554493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18014047554493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18014047554493e-05×40589641000000     		ar = 326129.584171055m²