Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37674 / 36650
↖ ↑ ↗
← S 20.848545°
E 26.949463°		 ← 570.80 m → S 20.848545°
E 26.954956°		 →
↑
570.78 m
↓
↑
570.78 m
↓
S 20.853678°
E 26.949463°		 ← 570.78 m →
325 792 m²		 S 20.853678°
E 26.954956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574867248535156 y=0.559242248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574867248535156 × 216)
    floor (0.574867248535156 × 65536)
    floor (37674.5)     		tx = 37674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559242248535156 × 216)
    floor (0.559242248535156 × 65536)
    floor (36650.5)     		ty = 36650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37674 / 36650 ti = "16/37674/36650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37674/36650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37674 ÷ 216
    37674 ÷ 65536     		x = 0.574859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36650 ÷ 216
    36650 ÷ 65536     		y = 0.559234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574859619140625 × 2 - 1) × π
    0.14971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47035686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.11846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.372182088650116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47035686} λ = 0.47035686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372182088650116))-π/2
    2×atan(0.689228730368266)-π/2
    2×0.603460284853905-π/2
    1.20692056970781-1.57079632675     		φ = -0.36387576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47035686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.949463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36387576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.848545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37674 KachelY 36650 0.47035686 -0.36387576 26.949463 -20.848545
    Oben rechts KachelX + 1 37675 KachelY 36650 0.47045273 -0.36387576 26.954956 -20.848545
    Unten links KachelX 37674 KachelY + 1 36651 0.47035686 -0.36396535 26.949463 -20.853678
    Unten rechts KachelX + 1 37675 KachelY + 1 36651 0.47045273 -0.36396535 26.954956 -20.853678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36387576--0.36396535) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dl = 570.77789000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36387576--0.36396535) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dr = 570.77789000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47035686-0.47045273) × cos(-0.36387576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		do = 570.796115470918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47035686-0.47045273) × cos(-0.36396535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934492578696322 × 6371000     		du = 570.776638223463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36387576)-sin(-0.36396535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934524467428237-0.934492578696322)×R²
    abs(0.47045273-0.47035686)×3.18887319153971e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18887319153971e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18887319153971e-05×40589641000000     		ar = 325792.2440355m²