Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37665 / 36769
↖ ↑ ↗
← S 21.458181°
E 26.900024°		 ← 568.51 m → S 21.458181°
E 26.905518°		 →
↑
568.48 m
↓
↑
568.48 m
↓
S 21.463294°
E 26.900024°		 ← 568.49 m →
323 183 m²		 S 21.463294°
E 26.905518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574729919433594 y=0.561058044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574729919433594 × 216)
    floor (0.574729919433594 × 65536)
    floor (37665.5)     		tx = 37665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561058044433594 × 216)
    floor (0.561058044433594 × 65536)
    floor (36769.5)     		ty = 36769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37665 / 36769 ti = "16/37665/36769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37665/36769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37665 ÷ 216
    37665 ÷ 65536     		x = 0.574722290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36769 ÷ 216
    36769 ÷ 65536     		y = 0.561050415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574722290039062 × 2 - 1) × π
    0.149444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46949399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.122100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.383591070759689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46949399} λ = 0.46949399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.383591070759689))-π/2
    2×atan(0.681410018694842)-π/2
    2×0.598140207323547-π/2
    1.19628041464709-1.57079632675     		φ = -0.37451591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46949399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.900024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37451591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.458181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37665 KachelY 36769 0.46949399 -0.37451591 26.900024 -21.458181
    Oben rechts KachelX + 1 37666 KachelY 36769 0.46958987 -0.37451591 26.905518 -21.458181
    Unten links KachelX 37665 KachelY + 1 36770 0.46949399 -0.37460514 26.900024 -21.463294
    Unten rechts KachelX + 1 37666 KachelY + 1 36770 0.46958987 -0.37460514 26.905518 -21.463294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37451591--0.37460514) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dl = 568.484329999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37451591--0.37460514) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dr = 568.484329999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46949399-0.46958987) × cos(-0.37451591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.930684821744963 × 6371000     		do = 568.510200776403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46949399-0.46958987) × cos(-0.37460514) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.930652175739614 × 6371000     		du = 568.49025891572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37451591)-sin(-0.37460514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930684821744963-0.930652175739614)×R²
    abs(0.46958987-0.46949399)×3.26460053490241e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.26460053490241e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.26460053490241e-05×40589641000000     		ar = 323183.472483172m²