Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37656 / 36648
↖ ↑ ↗
← S 20.838278°
E 26.850586°		 ← 570.84 m → S 20.838278°
E 26.856079°		 →
↑
570.84 m
↓
↑
570.84 m
↓
S 20.843412°
E 26.850586°		 ← 570.82 m →
325 851 m²		 S 20.843412°
E 26.856079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574592590332031 y=0.559211730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574592590332031 × 216)
    floor (0.574592590332031 × 65536)
    floor (37656.5)     		tx = 37656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559211730957031 × 216)
    floor (0.559211730957031 × 65536)
    floor (36648.5)     		ty = 36648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37656 / 36648 ti = "16/37656/36648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37656/36648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37656 ÷ 216
    37656 ÷ 65536     		x = 0.5745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36648 ÷ 216
    36648 ÷ 65536     		y = 0.5592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5745849609375 × 2 - 1) × π
    0.149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46863113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46863113} λ = 0.46863113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371990341051636))-π/2
    2×atan(0.689360900993413)-π/2
    2×0.603549884321922-π/2
    1.20709976864384-1.57079632675     		φ = -0.36369656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46863113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.850586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36369656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.838278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37656 KachelY 36648 0.46863113 -0.36369656 26.850586 -20.838278
    Oben rechts KachelX + 1 37657 KachelY 36648 0.46872700 -0.36369656 26.856079 -20.838278
    Unten links KachelX 37656 KachelY + 1 36649 0.46863113 -0.36378616 26.850586 -20.843412
    Unten rechts KachelX + 1 37657 KachelY + 1 36649 0.46872700 -0.36378616 26.856079 -20.843412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36369656--0.36378616) × R
    8.9600000000023e-05 × 6371000     		dl = 570.841600000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36369656--0.36378616) × R
    8.9600000000023e-05 × 6371000     		dr = 570.841600000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46863113-0.46872700) × cos(-0.36369656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934588229503929 × 6371000     		do = 570.83506056694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46863113-0.46872700) × cos(-0.36378616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		du = 570.815590310229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36369656)-sin(-0.36378616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934588229503929-0.934556352217467)×R²
    abs(0.46872700-0.46863113)×3.18772864617012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18772864617012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18772864617012e-05×40589641000000     		ar = 325850.842312016m²