Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37186 / 37188
↖ ↑ ↗
← S 23.584126°
E 24.268799°		 ← 559.77 m → S 23.584126°
E 24.274292°		 →
↑
559.76 m
↓
↑
559.76 m
↓
S 23.589160°
E 24.268799°		 ← 559.75 m →
313 329 m²		 S 23.589160°
E 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567420959472656 y=0.567451477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567420959472656 × 216)
    floor (0.567420959472656 × 65536)
    floor (37186.5)     		tx = 37186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567451477050781 × 216)
    floor (0.567451477050781 × 65536)
    floor (37188.5)     		ty = 37188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37186 / 37188 ti = "16/37186/37188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37186/37188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37186 ÷ 216
    37186 ÷ 65536     		x = 0.567413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37188 ÷ 216
    37188 ÷ 65536     		y = 0.56744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.423762192641296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42357045} λ = 0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423762192641296))-π/2
    2×atan(0.654579527229756)-π/2
    2×0.579587838165525-π/2
    1.15917567633105-1.57079632675     		φ = -0.41162065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41162065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.584126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37186 KachelY 37188 0.42357045 -0.41162065 24.268799 -23.584126
    Oben rechts KachelX + 1 37187 KachelY 37188 0.42366632 -0.41162065 24.274292 -23.584126
    Unten links KachelX 37186 KachelY + 1 37189 0.42357045 -0.41170851 24.268799 -23.589160
    Unten rechts KachelX + 1 37187 KachelY + 1 37189 0.42366632 -0.41170851 24.274292 -23.589160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41162065--0.41170851) × R
    8.78600000000507e-05 × 6371000     		dl = 559.756060000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41162065--0.41170851) × R
    8.78600000000507e-05 × 6371000     		dr = 559.756060000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42357045-0.42366632) × cos(-0.41162065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916473612480395 × 6371000     		do = 559.770874030732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42357045-0.42366632) × cos(-0.41170851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916438456584512 × 6371000     		du = 559.749401239484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41162065)-sin(-0.41170851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916473612480395-0.916438456584512)×R²
    abs(0.42366632-0.42357045)×3.51558958829878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51558958829878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51558958829878e-05×40589641000000     		ar = 313329.1293895m²