Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37185 / 37191
↖ ↑ ↗
← S 23.599228°
E 24.263306°		 ← 559.76 m → S 23.599228°
E 24.268799°		 →
↑
559.76 m
↓
↑
559.76 m
↓
S 23.604262°
E 24.263306°		 ← 559.74 m →
313 326 m²		 S 23.604262°
E 24.268799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567405700683594 y=0.567497253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567405700683594 × 216)
    floor (0.567405700683594 × 65536)
    floor (37185.5)     		tx = 37185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		ty = 37191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37185 / 37191 ti = "16/37185/37191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37185/37191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37185 ÷ 216
    37185 ÷ 65536     		x = 0.567398071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		y = 0.567489624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567398071289062 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    -0.134979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.424049814039017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42347457} λ = 0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424049814039017))-π/2
    2×atan(0.654391283224015)-π/2
    2×0.579456047039518-π/2
    1.15891209407904-1.57079632675     		φ = -0.41188423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41188423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.599228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37185 KachelY 37191 0.42347457 -0.41188423 24.263306 -23.599228
    Oben rechts KachelX + 1 37186 KachelY 37191 0.42357045 -0.41188423 24.268799 -23.599228
    Unten links KachelX 37185 KachelY + 1 37192 0.42347457 -0.41197209 24.263306 -23.604262
    Unten rechts KachelX + 1 37186 KachelY + 1 37192 0.42357045 -0.41197209 24.268799 -23.604262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41188423--0.41197209) × R
    8.78599999999952e-05 × 6371000     		dl = 559.756059999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41188423--0.41197209) × R
    8.78599999999952e-05 × 6371000     		dr = 559.756059999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42347457-0.42357045) × cos(-0.41188423) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916368123570008 × 6371000     		do = 559.76482450752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42347457-0.42357045) × cos(-0.41197209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916332946451931 × 6371000     		du = 559.74333651288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41188423)-sin(-0.41197209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916368123570008-0.916332946451931)×R²
    abs(0.42357045-0.42347457)×3.51771180776561e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.51771180776561e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.51771180776561e-05×40589641000000     		ar = 313325.738876873m²