Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37181 / 37189
↖ ↑ ↗
← S 23.589160°
E 24.241333°		 ← 559.75 m → S 23.589160°
E 24.246826°		 →
↑
559.82 m
↓
↑
559.82 m
↓
S 23.594195°
E 24.241333°		 ← 559.73 m →
313 353 m²		 S 23.594195°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567344665527344 y=0.567466735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567344665527344 × 216)
    floor (0.567344665527344 × 65536)
    floor (37181.5)     		tx = 37181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567466735839844 × 216)
    floor (0.567466735839844 × 65536)
    floor (37189.5)     		ty = 37189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37181 / 37189 ti = "16/37181/37189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37181/37189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37181 ÷ 216
    37181 ÷ 65536     		x = 0.567337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37189 ÷ 216
    37189 ÷ 65536     		y = 0.567459106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567337036132812 × 2 - 1) × π
    0.134674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42309108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567459106445312 × 2 - 1) × π
    -0.134918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.423858066440537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42309108} λ = 0.42309108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423858066440537))-π/2
    2×atan(0.654516773211857)-π/2
    2×0.579543906104617-π/2
    1.15908781220923-1.57079632675     		φ = -0.41170851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42309108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.241333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41170851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.589160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37181 KachelY 37189 0.42309108 -0.41170851 24.241333 -23.589160
    Oben rechts KachelX + 1 37182 KachelY 37189 0.42318695 -0.41170851 24.246826 -23.589160
    Unten links KachelX 37181 KachelY + 1 37190 0.42309108 -0.41179638 24.241333 -23.594195
    Unten rechts KachelX + 1 37182 KachelY + 1 37190 0.42318695 -0.41179638 24.246826 -23.594195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41170851--0.41179638) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dl = 559.819769999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41170851--0.41179638) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dr = 559.819769999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42309108-0.42318695) × cos(-0.41170851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916438456584512 × 6371000     		do = 559.749401239484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42309108-0.42318695) × cos(-0.41179638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916403289611731 × 6371000     		du = 559.727921682601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41170851)-sin(-0.41179638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916438456584512-0.916403289611731)×R²
    abs(0.42318695-0.42309108)×3.51669727811643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51669727811643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51669727811643e-05×40589641000000     		ar = 313352.768920858m²