Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3718 / 5591
↖ ↑ ↗
← S 54.749991°
W 16.611328°		 ← 2 820.22 m → S 54.749991°
W 16.567383°		 →
↑
2 819.29 m
↓
↑
2 819.29 m
↓
S 54.775346°
W 16.611328°		 ← 2 818.45 m →
7 948 533 m²		 S 54.775346°
W 16.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45391845703125 y=0.68255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45391845703125 × 213)
    floor (0.45391845703125 × 8192)
    floor (3718.5)     		tx = 3718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68255615234375 × 213)
    floor (0.68255615234375 × 8192)
    floor (5591.5)     		ty = 5591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3718 / 5591 ti = "13/3718/5591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3718/5591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3718 ÷ 213
    3718 ÷ 8192     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5591 ÷ 213
    5591 ÷ 8192     		y = 0.6824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14665063891174))-π/2
    2×atan(0.317699078288484)-π/2
    2×0.307614359473094-π/2
    0.615228718946187-1.57079632675     		φ = -0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3718 KachelY 5591 -0.28992237 -0.95556761 -16.611328 -54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 3719 KachelY 5591 -0.28915538 -0.95556761 -16.567383 -54.749991
    Unten links KachelX 3718 KachelY + 1 5592 -0.28992237 -0.95601013 -16.611328 -54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 3719 KachelY + 1 5592 -0.28915538 -0.95601013 -16.567383 -54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95556761--0.95601013) × R
    0.000442520000000002 × 6371000     		dl = 2819.29492000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95556761--0.95601013) × R
    0.000442520000000002 × 6371000     		dr = 2819.29492000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28915538) × cos(-0.95556761) × R
    0.000766989999999967 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 2820.2167188653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28915538) × cos(-0.95601013) × R
    0.000766989999999967 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 2818.45056095897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95556761)-sin(-0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.576783880319027)×R²
    abs(-0.28915538--0.28992237)×0.000361436678926741×R²
    0.000766989999999967×0.000361436678926741×6371000²
    0.000766989999999967×0.000361436678926741×40589641000000     		ar = 7948533.13849816m²