Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37096 / 37655
↖ ↑ ↗
← S 25.913586°
E 23.774414°		 ← 549.43 m → S 25.913586°
E 23.779907°		 →
↑
549.37 m
↓
↑
549.37 m
↓
S 25.918526°
E 23.774414°		 ← 549.41 m →
301 836 m²		 S 25.918526°
E 23.779907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566047668457031 y=0.574577331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566047668457031 × 216)
    floor (0.566047668457031 × 65536)
    floor (37096.5)     		tx = 37096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574577331542969 × 216)
    floor (0.574577331542969 × 65536)
    floor (37655.5)     		ty = 37655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37096 / 37655 ti = "16/37096/37655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37096/37655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37096 ÷ 216
    37096 ÷ 65536     		x = 0.5660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37655 ÷ 216
    37655 ÷ 65536     		y = 0.574569702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41494180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574569702148438 × 2 - 1) × π
    -0.149139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.468535256886429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41494180} λ = 0.41494180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468535256886429))-π/2
    2×atan(0.625918406841161)-π/2
    2×0.559259470148822-π/2
    1.11851894029764-1.57079632675     		φ = -0.45227739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41494180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45227739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.913586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37096 KachelY 37655 0.41494180 -0.45227739 23.774414 -25.913586
    Oben rechts KachelX + 1 37097 KachelY 37655 0.41503768 -0.45227739 23.779907 -25.913586
    Unten links KachelX 37096 KachelY + 1 37656 0.41494180 -0.45236362 23.774414 -25.918526
    Unten rechts KachelX + 1 37097 KachelY + 1 37656 0.41503768 -0.45236362 23.779907 -25.918526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45227739--0.45236362) × R
    8.62300000000205e-05 × 6371000     		dl = 549.37133000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45227739--0.45236362) × R
    8.62300000000205e-05 × 6371000     		dr = 549.37133000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41494180-0.41503768) × cos(-0.45227739) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899454181965442 × 6371000     		do = 549.432918245737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41494180-0.41503768) × cos(-0.45236362) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899416494811696 × 6371000     		du = 549.409896992095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45227739)-sin(-0.45236362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899454181965442-0.899416494811696)×R²
    abs(0.41503768-0.41494180)×3.76871537455248e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76871537455248e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76871537455248e-05×40589641000000     		ar = 301836.369621102m²