Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3702 / 5554
↖ ↑ ↗
← S 53.800651°
W 17.314453°		 ← 2 885.98 m → S 53.800651°
W 17.270508°		 →
↑
2 885.04 m
↓
↑
2 885.04 m
↓
S 53.826597°
W 17.314453°		 ← 2 884.20 m →
8 323 612 m²		 S 53.826597°
W 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45196533203125 y=0.67803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45196533203125 × 213)
    floor (0.45196533203125 × 8192)
    floor (3702.5)     		tx = 3702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67803955078125 × 213)
    floor (0.67803955078125 × 8192)
    floor (5554.5)     		ty = 5554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3702 / 5554 ti = "13/3702/5554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3702/5554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3702 ÷ 213
    3702 ÷ 8192     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5554 ÷ 213
    5554 ÷ 8192     		y = 0.677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.35595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11827199433667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11827199433667))-π/2
    2×atan(0.326844095373007)-π/2
    2×0.315898915089252-π/2
    0.631797830178503-1.57079632675     		φ = -0.93899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.800651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3702 KachelY 5554 -0.30219422 -0.93899850 -17.314453 -53.800651
    Oben rechts KachelX + 1 3703 KachelY 5554 -0.30142722 -0.93899850 -17.270508 -53.800651
    Unten links KachelX 3702 KachelY + 1 5555 -0.30219422 -0.93945134 -17.314453 -53.826597
    Unten rechts KachelX + 1 3703 KachelY + 1 5555 -0.30142722 -0.93945134 -17.270508 -53.826597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93899850--0.93945134) × R
    0.00045284000000001 × 6371000     		dl = 2885.04364000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93899850--0.93945134) × R
    0.00045284000000001 × 6371000     		dr = 2885.04364000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30142722) × cos(-0.93899850) × R
    0.000767000000000018 × 0.590596498554121 × 6371000     		do = 2885.9834541852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30142722) × cos(-0.93945134) × R
    0.000767000000000018 × 0.590231011064945 × 6371000     		du = 2884.19747873655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93899850)-sin(-0.93945134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590596498554121-0.590231011064945)×R²
    abs(-0.30142722--0.30219422)×0.00036548748917653×R²
    0.000767000000000018×0.00036548748917653×6371000²
    0.000767000000000018×0.00036548748917653×40589641000000     		ar = 8323612.04332802m²