Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3697 / 5807
↖ ↑ ↗
← S 59.866883°
W 17.534180°		 ← 2 453.07 m → S 59.866883°
W 17.490235°		 →
↑
2 452.26 m
↓
↑
2 452.26 m
↓
S 59.888937°
W 17.534180°		 ← 2 451.45 m →
6 013 580 m²		 S 59.888937°
W 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45135498046875 y=0.70892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45135498046875 × 213)
    floor (0.45135498046875 × 8192)
    floor (3697.5)     		tx = 3697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70892333984375 × 213)
    floor (0.70892333984375 × 8192)
    floor (5807.5)     		ty = 5807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3697 / 5807 ti = "13/3697/5807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3697/5807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3697 ÷ 213
    3697 ÷ 8192     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5807 ÷ 213
    5807 ÷ 8192     		y = 0.7088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.31232056399866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31232056399866))-π/2
    2×atan(0.269194647606925)-π/2
    2×0.262961051075222-π/2
    0.525922102150445-1.57079632675     		φ = -1.04487422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04487422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.866883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3697 KachelY 5807 -0.30602917 -1.04487422 -17.534180 -59.866883
    Oben rechts KachelX + 1 3698 KachelY 5807 -0.30526218 -1.04487422 -17.490235 -59.866883
    Unten links KachelX 3697 KachelY + 1 5808 -0.30602917 -1.04525913 -17.534180 -59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 3698 KachelY + 1 5808 -0.30526218 -1.04525913 -17.490235 -59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04487422--1.04525913) × R
    0.000384909999999961 × 6371000     		dl = 2452.26160999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04487422--1.04525913) × R
    0.000384909999999961 × 6371000     		dr = 2452.26160999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30526218) × cos(-1.04487422) × R
    0.000766990000000023 × 0.502010712561161 × 6371000     		do = 2453.07197843831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30526218) × cos(-1.04525913) × R
    0.000766990000000023 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 2451.44511342943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04487422)-sin(-1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502010712561161-0.501677781579305)×R²
    abs(-0.30526218--0.30602917)×0.00033293098185605×R²
    0.000766990000000023×0.00033293098185605×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033293098185605×40589641000000     		ar = 6013579.56423285m²