Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3695 / 5811
↖ ↑ ↗
← S 59.955010°
W 17.622070°		 ← 2 446.57 m → S 59.955010°
W 17.578125°		 →
↑
2 445.76 m
↓
↑
2 445.76 m
↓
S 59.977005°
W 17.622070°		 ← 2 444.94 m →
5 981 742 m²		 S 59.977005°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45111083984375 y=0.70941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45111083984375 × 213)
    floor (0.45111083984375 × 8192)
    floor (3695.5)     		tx = 3695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70941162109375 × 213)
    floor (0.70941162109375 × 8192)
    floor (5811.5)     		ty = 5811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3695 / 5811 ti = "13/3695/5811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3695/5811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3695 ÷ 213
    3695 ÷ 8192     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5811 ÷ 213
    5811 ÷ 8192     		y = 0.7093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.31538852557434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31538852557434))-π/2
    2×atan(0.268370034359365)-π/2
    2×0.262191997336875-π/2
    0.524383994673749-1.57079632675     		φ = -1.04641233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04641233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.955010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3695 KachelY 5811 -0.30756315 -1.04641233 -17.622070 -59.955010
    Oben rechts KachelX + 1 3696 KachelY 5811 -0.30679616 -1.04641233 -17.578125 -59.955010
    Unten links KachelX 3695 KachelY + 1 5812 -0.30756315 -1.04679622 -17.622070 -59.977005
    Unten rechts KachelX + 1 3696 KachelY + 1 5812 -0.30679616 -1.04679622 -17.578125 -59.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04641233--1.04679622) × R
    0.000383890000000164 × 6371000     		dl = 2445.76319000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04641233--1.04679622) × R
    0.000383890000000164 × 6371000     		dr = 2445.76319000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30679616) × cos(-1.04641233) × R
    0.000766990000000023 × 0.500679867290889 × 6371000     		do = 2446.5688119551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30679616) × cos(-1.04679622) × R
    0.000766990000000023 × 0.500347522735573 × 6371000     		du = 2444.94481251557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04641233)-sin(-1.04679622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.500679867290889-0.500347522735573)×R²
    abs(-0.30679616--0.30756315)×0.00033234455531661×R²
    0.000766990000000023×0.00033234455531661×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033234455531661×40589641000000     		ar = 5981742.05652092m²