Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3688 / 5576
↖ ↑ ↗
← S 54.367758°
W 17.929687°		 ← 2 846.78 m → S 54.367758°
W 17.885742°		 →
↑
2 845.93 m
↓
↑
2 845.93 m
↓
S 54.393352°
W 17.929687°		 ← 2 845 m →
8 099 186 m²		 S 54.393352°
W 17.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45025634765625 y=0.68072509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45025634765625 × 213)
    floor (0.45025634765625 × 8192)
    floor (3688.5)     		tx = 3688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68072509765625 × 213)
    floor (0.68072509765625 × 8192)
    floor (5576.5)     		ty = 5576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3688 / 5576 ti = "13/3688/5576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3688/5576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3688 ÷ 213
    3688 ÷ 8192     		x = 0.4501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5576 ÷ 213
    5576 ÷ 8192     		y = 0.6806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    -0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6806640625 × 2 - 1) × π
    -0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31293208} λ = -0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13514578300293))-π/2
    2×atan(0.321375266867711)-π/2
    2×0.310949966819796-π/2
    0.621899933639592-1.57079632675     		φ = -0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3688 KachelY 5576 -0.31293208 -0.94889639 -17.929687 -54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 3689 KachelY 5576 -0.31216509 -0.94889639 -17.885742 -54.367758
    Unten links KachelX 3688 KachelY + 1 5577 -0.31293208 -0.94934309 -17.929687 -54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 3689 KachelY + 1 5577 -0.31216509 -0.94934309 -17.885742 -54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94889639--0.94934309) × R
    0.000446699999999911 × 6371000     		dl = 2845.92569999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94889639--0.94934309) × R
    0.000446699999999911 × 6371000     		dr = 2845.92569999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31293208--0.31216509) × cos(-0.94889639) × R
    0.000766990000000023 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 2846.77535492175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31293208--0.31216509) × cos(-0.94934309) × R
    0.000766990000000023 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 2845.00095272698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94889639)-sin(-0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.582217304697639)×R²
    abs(-0.31216509--0.31293208)×0.000363123837372914×R²
    0.000766990000000023×0.000363123837372914×6371000²
    0.000766990000000023×0.000363123837372914×40589641000000     		ar = 8099186.37097156m²