Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3685 / 5475
↖ ↑ ↗
← S 51.699800°
W 18.061523°		 ← 3 028.56 m → S 51.699800°
W 18.017578°		 →
↑
3 027.63 m
↓
↑
3 027.63 m
↓
S 51.727028°
W 18.061523°		 ← 3 026.74 m →
9 166 588 m²		 S 51.727028°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44989013671875 y=0.66839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44989013671875 × 213)
    floor (0.44989013671875 × 8192)
    floor (3685.5)     		tx = 3685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66839599609375 × 213)
    floor (0.66839599609375 × 8192)
    floor (5475.5)     		ty = 5475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3685 / 5475 ti = "13/3685/5475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3685/5475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3685 ÷ 213
    3685 ÷ 8192     		x = 0.4498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5475 ÷ 213
    5475 ÷ 8192     		y = 0.6683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31523305} λ = -0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05767975321692))-π/2
    2×atan(0.347260606611392)-π/2
    2×0.334232298406783-π/2
    0.668464596813567-1.57079632675     		φ = -0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3685 KachelY 5475 -0.31523305 -0.90233173 -18.061523 -51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 3686 KachelY 5475 -0.31446606 -0.90233173 -18.017578 -51.699800
    Unten links KachelX 3685 KachelY + 1 5476 -0.31523305 -0.90280695 -18.061523 -51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 3686 KachelY + 1 5476 -0.31446606 -0.90280695 -18.017578 -51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90233173--0.90280695) × R
    0.000475219999999998 × 6371000     		dl = 3027.62661999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90233173--0.90280695) × R
    0.000475219999999998 × 6371000     		dr = 3027.62661999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31523305--0.31446606) × cos(-0.90233173) × R
    0.000766990000000023 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 3028.55947618111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31523305--0.31446606) × cos(-0.90280695) × R
    0.000766990000000023 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 3026.73676352177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90233173)-sin(-0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.619408762868)×R²
    abs(-0.31446606--0.31523305)×0.000373010367796578×R²
    0.000766990000000023×0.000373010367796578×6371000²
    0.000766990000000023×0.000373010367796578×40589641000000     		ar = 9166588.21616695m²