Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36831 / 36903
↖ ↑ ↗
← S 22.141620°
E 22.318726°		 ← 565.75 m → S 22.141620°
E 22.324219°		 →
↑
565.74 m
↓
↑
565.74 m
↓
S 22.146708°
E 22.318726°		 ← 565.72 m →
320 062 m²		 S 22.146708°
E 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562004089355469 y=0.563102722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562004089355469 × 216)
    floor (0.562004089355469 × 65536)
    floor (36831.5)     		tx = 36831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563102722167969 × 216)
    floor (0.563102722167969 × 65536)
    floor (36903.5)     		ty = 36903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36831 / 36903 ti = "16/36831/36903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36831/36903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36831 ÷ 216
    36831 ÷ 65536     		x = 0.561996459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36903 ÷ 216
    36903 ÷ 65536     		y = 0.563095092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561996459960938 × 2 - 1) × π
    0.123992919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38953525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563095092773438 × 2 - 1) × π
    -0.126190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.396438159857864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38953525} λ = 0.38953525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396438159857864))-π/2
    2×atan(0.672711876012998)-π/2
    2×0.592176079778865-π/2
    1.18435215955773-1.57079632675     		φ = -0.38644417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38953525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.318726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38644417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.141620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36831 KachelY 36903 0.38953525 -0.38644417 22.318726 -22.141620
    Oben rechts KachelX + 1 36832 KachelY 36903 0.38963112 -0.38644417 22.324219 -22.141620
    Unten links KachelX 36831 KachelY + 1 36904 0.38953525 -0.38653297 22.318726 -22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 36832 KachelY + 1 36904 0.38963112 -0.38653297 22.324219 -22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38644417--0.38653297) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dl = 565.7448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38644417--0.38653297) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dr = 565.7448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38953525-0.38963112) × cos(-0.38644417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926255095145454 × 6371000     		do = 565.745284015018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38953525-0.38963112) × cos(-0.38653297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 565.724839651529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38644417)-sin(-0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926255095145454-0.926221623022251)×R²
    abs(0.38963112-0.38953525)×3.34721232038149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34721232038149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34721232038149e-05×40589641000000     		ar = 320061.669620011m²