Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3683 / 5574
↖ ↑ ↗
← S 54.316523°
W 18.149414°		 ← 2 850.33 m → S 54.316523°
W 18.105469°		 →
↑
2 849.43 m
↓
↑
2 849.43 m
↓
S 54.342149°
W 18.149414°		 ← 2 848.55 m →
8 119 274 m²		 S 54.342149°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44964599609375 y=0.68048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44964599609375 × 213)
    floor (0.44964599609375 × 8192)
    floor (3683.5)     		tx = 3683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68048095703125 × 213)
    floor (0.68048095703125 × 8192)
    floor (5574.5)     		ty = 5574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3683 / 5574 ti = "13/3683/5574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3683/5574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3683 ÷ 213
    3683 ÷ 8192     		x = 0.4495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5574 ÷ 213
    5574 ÷ 8192     		y = 0.680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.36083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13361180221509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31676703} λ = -0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13361180221509))-π/2
    2×atan(0.321868628659784)-π/2
    2×0.311397079017635-π/2
    0.622794158035271-1.57079632675     		φ = -0.94800217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94800217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.316523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3683 KachelY 5574 -0.31676703 -0.94800217 -18.149414 -54.316523
    Oben rechts KachelX + 1 3684 KachelY 5574 -0.31600004 -0.94800217 -18.105469 -54.316523
    Unten links KachelX 3683 KachelY + 1 5575 -0.31676703 -0.94844942 -18.149414 -54.342149
    Unten rechts KachelX + 1 3684 KachelY + 1 5575 -0.31600004 -0.94844942 -18.105469 -54.342149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94800217--0.94844942) × R
    0.00044725000000001 × 6371000     		dl = 2849.42975000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94800217--0.94844942) × R
    0.00044725000000001 × 6371000     		dr = 2849.42975000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31676703--0.31600004) × cos(-0.94800217) × R
    0.000766990000000023 × 0.583306993438132 × 6371000     		do = 2850.32570944559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31676703--0.31600004) × cos(-0.94844942) × R
    0.000766990000000023 × 0.582943655502188 × 6371000     		du = 2848.5502610596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94800217)-sin(-0.94844942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583306993438132-0.582943655502188)×R²
    abs(-0.31600004--0.31676703)×0.000363337935943786×R²
    0.000766990000000023×0.000363337935943786×6371000²
    0.000766990000000023×0.000363337935943786×40589641000000     		ar = 8119273.50130268m²