Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36827 / 36887
↖ ↑ ↗
← S 22.060187°
E 22.296753°		 ← 566.07 m → S 22.060187°
E 22.302246°		 →
↑
566.06 m
↓
↑
566.06 m
↓
S 22.065278°
E 22.296753°		 ← 566.05 m →
320 427 m²		 S 22.065278°
E 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561943054199219 y=0.562858581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561943054199219 × 216)
    floor (0.561943054199219 × 65536)
    floor (36827.5)     		tx = 36827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562858581542969 × 216)
    floor (0.562858581542969 × 65536)
    floor (36887.5)     		ty = 36887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36827 / 36887 ti = "16/36827/36887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36827/36887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36827 ÷ 216
    36827 ÷ 65536     		x = 0.561935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36887 ÷ 216
    36887 ÷ 65536     		y = 0.562850952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561935424804688 × 2 - 1) × π
    0.123870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38915175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562850952148438 × 2 - 1) × π
    -0.125701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.394904179070023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38915175} λ = 0.38915175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394904179070023))-π/2
    2×atan(0.673744594989582)-π/2
    2×0.592886713708612-π/2
    1.18577342741722-1.57079632675     		φ = -0.38502290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38915175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.296753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38502290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.060187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36827 KachelY 36887 0.38915175 -0.38502290 22.296753 -22.060187
    Oben rechts KachelX + 1 36828 KachelY 36887 0.38924762 -0.38502290 22.302246 -22.060187
    Unten links KachelX 36827 KachelY + 1 36888 0.38915175 -0.38511175 22.296753 -22.065278
    Unten rechts KachelX + 1 36828 KachelY + 1 36888 0.38924762 -0.38511175 22.302246 -22.065278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38502290--0.38511175) × R
    8.88499999999737e-05 × 6371000     		dl = 566.063349999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38502290--0.38511175) × R
    8.88499999999737e-05 × 6371000     		dr = 566.063349999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38915175-0.38924762) × cos(-0.38502290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926789832125943 × 6371000     		do = 566.071894822867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38915175-0.38924762) × cos(-0.38511175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926756458152782 × 6371000     		du = 566.051510408224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38502290)-sin(-0.38511175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926789832125943-0.926756458152782)×R²
    abs(0.38924762-0.38915175)×3.33739731606109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33739731606109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33739731606109e-05×40589641000000     		ar = 320426.783900024m²