Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3682 / 5584
↖ ↑ ↗
← S 54.572062°
W 18.193359°		 ← 2 832.60 m → S 54.572062°
W 18.149414°		 →
↑
2 831.65 m
↓
↑
2 831.65 m
↓
S 54.597528°
W 18.193359°		 ← 2 830.83 m →
8 018 426 m²		 S 54.597528°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44952392578125 y=0.68170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44952392578125 × 213)
    floor (0.44952392578125 × 8192)
    floor (3682.5)     		tx = 3682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68170166015625 × 213)
    floor (0.68170166015625 × 8192)
    floor (5584.5)     		ty = 5584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3682 / 5584 ti = "13/3682/5584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3682/5584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3682 ÷ 213
    3682 ÷ 8192     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5584 ÷ 213
    5584 ÷ 8192     		y = 0.681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681640625 × 2 - 1) × π
    -0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1412817061543))-π/2
    2×atan(0.319409370390238)-π/2
    2×0.309167085660608-π/2
    0.618334171321217-1.57079632675     		φ = -0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3682 KachelY 5584 -0.31753402 -0.95246216 -18.193359 -54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 3683 KachelY 5584 -0.31676703 -0.95246216 -18.149414 -54.572062
    Unten links KachelX 3682 KachelY + 1 5585 -0.31753402 -0.95290662 -18.193359 -54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 3683 KachelY + 1 5585 -0.31676703 -0.95290662 -18.149414 -54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95246216--0.95290662) × R
    0.000444460000000091 × 6371000     		dl = 2831.65466000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95246216--0.95290662) × R
    0.000444460000000091 × 6371000     		dr = 2831.65466000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(-0.95246216) × R
    0.000766989999999967 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 2832.59543885096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(-0.95290662) × R
    0.000766989999999967 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 2830.82543684619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95246216)-sin(-0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.579316345862885)×R²
    abs(-0.31676703--0.31753402)×0.000362223357267544×R²
    0.000766989999999967×0.000362223357267544×6371000²
    0.000766989999999967×0.000362223357267544×40589641000000     		ar = 8018426.18910694m²