Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36818 / 36917
↖ ↑ ↗
← S 22.212835°
E 22.247315°		 ← 565.46 m → S 22.212835°
E 22.252808°		 →
↑
565.49 m
↓
↑
565.49 m
↓
S 22.217920°
E 22.247315°		 ← 565.44 m →
319 755 m²		 S 22.217920°
E 22.252808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561805725097656 y=0.563316345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561805725097656 × 216)
    floor (0.561805725097656 × 65536)
    floor (36818.5)     		tx = 36818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563316345214844 × 216)
    floor (0.563316345214844 × 65536)
    floor (36917.5)     		ty = 36917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36818 / 36917 ti = "16/36818/36917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36818/36917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36818 ÷ 216
    36818 ÷ 65536     		x = 0.561798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36917 ÷ 216
    36917 ÷ 65536     		y = 0.563308715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561798095703125 × 2 - 1) × π
    0.12359619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38828889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563308715820312 × 2 - 1) × π
    -0.126617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.397780393047226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38828889} λ = 0.38828889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397780393047226))-π/2
    2×atan(0.671809545510578)-π/2
    2×0.591554611981522-π/2
    1.18310922396304-1.57079632675     		φ = -0.38768710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38828889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.247315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38768710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.212835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36818 KachelY 36917 0.38828889 -0.38768710 22.247315 -22.212835
    Oben rechts KachelX + 1 36819 KachelY 36917 0.38838476 -0.38768710 22.252808 -22.212835
    Unten links KachelX 36818 KachelY + 1 36918 0.38828889 -0.38777586 22.247315 -22.217920
    Unten rechts KachelX + 1 36819 KachelY + 1 36918 0.38838476 -0.38777586 22.252808 -22.217920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38768710--0.38777586) × R
    8.8760000000021e-05 × 6371000     		dl = 565.489960000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38768710--0.38777586) × R
    8.8760000000021e-05 × 6371000     		dr = 565.489960000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38828889-0.38838476) × cos(-0.38768710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925785922956278 × 6371000     		do = 565.458719379845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38828889-0.38838476) × cos(-0.38777586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92575236375322 × 6371000     		du = 565.438221829046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38768710)-sin(-0.38777586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925785922956278-0.92575236375322)×R²
    abs(0.38838476-0.38828889)×3.35592030583642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35592030583642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35592030583642e-05×40589641000000     		ar = 319755.433234085m²