Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36817 / 36910
↖ ↑ ↗
← S 22.177232°
E 22.241821°		 ← 565.66 m → S 22.177232°
E 22.247315°		 →
↑
565.62 m
↓
↑
565.62 m
↓
S 22.182318°
E 22.241821°		 ← 565.64 m →
319 942 m²		 S 22.182318°
E 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561790466308594 y=0.563209533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561790466308594 × 216)
    floor (0.561790466308594 × 65536)
    floor (36817.5)     		tx = 36817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563209533691406 × 216)
    floor (0.563209533691406 × 65536)
    floor (36910.5)     		ty = 36910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36817 / 36910 ti = "16/36817/36910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36817/36910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36817 ÷ 216
    36817 ÷ 65536     		x = 0.561782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36910 ÷ 216
    36910 ÷ 65536     		y = 0.563201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561782836914062 × 2 - 1) × π
    0.123565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38819301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.397109276452545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38819301} λ = 0.38819301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397109276452545))-π/2
    2×atan(0.67226055936955)-π/2
    2×0.591865306521355-π/2
    1.18373061304271-1.57079632675     		φ = -0.38706571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38819301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.241821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38706571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.177232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36817 KachelY 36910 0.38819301 -0.38706571 22.241821 -22.177232
    Oben rechts KachelX + 1 36818 KachelY 36910 0.38828889 -0.38706571 22.247315 -22.177232
    Unten links KachelX 36817 KachelY + 1 36911 0.38819301 -0.38715449 22.241821 -22.182318
    Unten rechts KachelX + 1 36818 KachelY + 1 36911 0.38828889 -0.38715449 22.247315 -22.182318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38706571--0.38715449) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dl = 565.617380000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38706571--0.38715449) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dr = 565.617380000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38819301-0.38828889) × cos(-0.38706571) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.926020659563676 × 6371000     		do = 565.661090405004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38819301-0.38828889) × cos(-0.38715449) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.925987143876397 × 6371000     		du = 565.640617297827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38706571)-sin(-0.38715449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926020659563676-0.925987143876397)×R²
    abs(0.38828889-0.38819301)×3.35156872782738e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.35156872782738e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.35156872782738e-05×40589641000000     		ar = 319941.954160326m²