Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36816 / 36915
↖ ↑ ↗
← S 22.202663°
E 22.236328°		 ← 565.50 m → S 22.202663°
E 22.241821°		 →
↑
565.49 m
↓
↑
565.49 m
↓
S 22.207749°
E 22.236328°		 ← 565.48 m →
319 779 m²		 S 22.207749°
E 22.241821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561775207519531 y=0.563285827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561775207519531 × 216)
    floor (0.561775207519531 × 65536)
    floor (36816.5)     		tx = 36816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563285827636719 × 216)
    floor (0.563285827636719 × 65536)
    floor (36915.5)     		ty = 36915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36816 / 36915 ti = "16/36816/36915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36816/36915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36816 ÷ 216
    36816 ÷ 65536     		x = 0.561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36915 ÷ 216
    36915 ÷ 65536     		y = 0.563278198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561767578125 × 2 - 1) × π
    0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563278198242188 × 2 - 1) × π
    -0.126556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.397588645448746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38809714} λ = 0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397588645448746))-π/2
    2×atan(0.671938375728614)-π/2
    2×0.591643373811796-π/2
    1.18328674762359-1.57079632675     		φ = -0.38750958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38750958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.202663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36816 KachelY 36915 0.38809714 -0.38750958 22.236328 -22.202663
    Oben rechts KachelX + 1 36817 KachelY 36915 0.38819301 -0.38750958 22.241821 -22.202663
    Unten links KachelX 36816 KachelY + 1 36916 0.38809714 -0.38759834 22.236328 -22.207749
    Unten rechts KachelX + 1 36817 KachelY + 1 36916 0.38819301 -0.38759834 22.241821 -22.207749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38750958--0.38759834) × R
    8.87599999999655e-05 × 6371000     		dl = 565.48995999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38750958--0.38759834) × R
    8.87599999999655e-05 × 6371000     		dr = 565.48995999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38809714-0.38819301) × cos(-0.38750958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925853019481169 × 6371000     		do = 565.499701116657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38809714-0.38819301) × cos(-0.38759834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925819474865683 × 6371000     		du = 565.479212475769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38750958)-sin(-0.38759834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925853019481169-0.925819474865683)×R²
    abs(0.38819301-0.38809714)×3.35446154858809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35446154858809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35446154858809e-05×40589641000000     		ar = 319778.610513922m²