Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36815 / 36913
↖ ↑ ↗
← S 22.192491°
E 22.230835°		 ← 565.54 m → S 22.192491°
E 22.236328°		 →
↑
565.55 m
↓
↑
565.55 m
↓
S 22.197577°
E 22.230835°		 ← 565.52 m →
319 838 m²		 S 22.197577°
E 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561759948730469 y=0.563255310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561759948730469 × 216)
    floor (0.561759948730469 × 65536)
    floor (36815.5)     		tx = 36815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563255310058594 × 216)
    floor (0.563255310058594 × 65536)
    floor (36913.5)     		ty = 36913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36815 / 36913 ti = "16/36815/36913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36815/36913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36815 ÷ 216
    36815 ÷ 65536     		x = 0.561752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36913 ÷ 216
    36913 ÷ 65536     		y = 0.563247680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561752319335938 × 2 - 1) × π
    0.123504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38800127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563247680664062 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.397396897850265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38800127} λ = 0.38800127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397396897850265))-π/2
    2×atan(0.672067230651903)-π/2
    2×0.591732142073836-π/2
    1.18346428414767-1.57079632675     		φ = -0.38733204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38800127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38733204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.192491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36815 KachelY 36913 0.38800127 -0.38733204 22.230835 -22.192491
    Oben rechts KachelX + 1 36816 KachelY 36913 0.38809714 -0.38733204 22.236328 -22.192491
    Unten links KachelX 36815 KachelY + 1 36914 0.38800127 -0.38742081 22.230835 -22.197577
    Unten rechts KachelX + 1 36816 KachelY + 1 36914 0.38809714 -0.38742081 22.236328 -22.197577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38733204--0.38742081) × R
    8.87700000000158e-05 × 6371000     		dl = 565.553670000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38733204--0.38742081) × R
    8.87700000000158e-05 × 6371000     		dr = 565.553670000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38800127-0.38809714) × cos(-0.38733204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925920094383717 × 6371000     		do = 565.540669646808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38800127-0.38809714) × cos(-0.38742081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925886560580488 × 6371000     		du = 565.520187609914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38733204)-sin(-0.38742081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925920094383717-0.925886560580488)×R²
    abs(0.38809714-0.38800127)×3.35338032291244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35338032291244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35338032291244e-05×40589641000000     		ar = 319837.809617423m²