Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36815 / 36909
↖ ↑ ↗
← S 22.172145°
E 22.230835°		 ← 565.62 m → S 22.172145°
E 22.236328°		 →
↑
565.62 m
↓
↑
565.62 m
↓
S 22.177232°
E 22.230835°		 ← 565.60 m →
319 920 m²		 S 22.177232°
E 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561759948730469 y=0.563194274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561759948730469 × 216)
    floor (0.561759948730469 × 65536)
    floor (36815.5)     		tx = 36815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563194274902344 × 216)
    floor (0.563194274902344 × 65536)
    floor (36909.5)     		ty = 36909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36815 / 36909 ti = "16/36815/36909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36815/36909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36815 ÷ 216
    36815 ÷ 65536     		x = 0.561752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36909 ÷ 216
    36909 ÷ 65536     		y = 0.563186645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561752319335938 × 2 - 1) × π
    0.123504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38800127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563186645507812 × 2 - 1) × π
    -0.126373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.397013402653305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38800127} λ = 0.38800127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397013402653305))-π/2
    2×atan(0.672325014633192)-π/2
    2×0.591909697883884-π/2
    1.18381939576777-1.57079632675     		φ = -0.38697693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38800127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38697693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.172145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36815 KachelY 36909 0.38800127 -0.38697693 22.230835 -22.172145
    Oben rechts KachelX + 1 36816 KachelY 36909 0.38809714 -0.38697693 22.236328 -22.172145
    Unten links KachelX 36815 KachelY + 1 36910 0.38800127 -0.38706571 22.230835 -22.177232
    Unten rechts KachelX + 1 36816 KachelY + 1 36910 0.38809714 -0.38706571 22.236328 -22.177232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38697693--0.38706571) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dl = 565.617380000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38697693--0.38706571) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dr = 565.617380000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38800127-0.38809714) × cos(-0.38697693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926054167952162 × 6371000     		do = 565.622560142694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38800127-0.38809714) × cos(-0.38706571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926020659563676 × 6371000     		du = 565.602093628814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38697693)-sin(-0.38706571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926054167952162-0.926020659563676)×R²
    abs(0.38809714-0.38800127)×3.35083884868137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35083884868137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35083884868137e-05×40589641000000     		ar = 319920.162639048m²