Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3680 / 5792
↖ ↑ ↗
← S 59.534318°
W 18.281250°		 ← 2 477.56 m → S 59.534318°
W 18.237304°		 →
↑
2 476.73 m
↓
↑
2 476.73 m
↓
S 59.556592°
W 18.281250°		 ← 2 475.92 m →
6 134 211 m²		 S 59.556592°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44927978515625 y=0.70709228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44927978515625 × 213)
    floor (0.44927978515625 × 8192)
    floor (3680.5)     		tx = 3680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70709228515625 × 213)
    floor (0.70709228515625 × 8192)
    floor (5792.5)     		ty = 5792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3680 / 5792 ti = "13/3680/5792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3680/5792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3680 ÷ 213
    3680 ÷ 8192     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5792 ÷ 213
    5792 ÷ 8192     		y = 0.70703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70703125 × 2 - 1) × π
    -0.4140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.30081570808984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.30081570808984))-π/2
    2×atan(0.272309577289607)-π/2
    2×0.26586322988265-π/2
    0.531726459765301-1.57079632675     		φ = -1.03906987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03906987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.534318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3680 KachelY 5792 -0.31906800 -1.03906987 -18.281250 -59.534318
    Oben rechts KachelX + 1 3681 KachelY 5792 -0.31830101 -1.03906987 -18.237304 -59.534318
    Unten links KachelX 3680 KachelY + 1 5793 -0.31906800 -1.03945862 -18.281250 -59.556592
    Unten rechts KachelX + 1 3681 KachelY + 1 5793 -0.31830101 -1.03945862 -18.237304 -59.556592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03906987--1.03945862) × R
    0.000388749999999938 × 6371000     		dl = 2476.7262499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03906987--1.03945862) × R
    0.000388749999999938 × 6371000     		dr = 2476.7262499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31830101) × cos(-1.03906987) × R
    0.000766990000000023 × 0.507022186184862 × 6371000     		do = 2477.56051067353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31830101) × cos(-1.03945862) × R
    0.000766990000000023 × 0.506687071425887 × 6371000     		du = 2475.92297465242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03906987)-sin(-1.03945862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507022186184862-0.506687071425887)×R²
    abs(-0.31830101--0.31906800)×0.000335114758974075×R²
    0.000766990000000023×0.000335114758974075×6371000²
    0.000766990000000023×0.000335114758974075×40589641000000     		ar = 6134211.36577936m²