Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3679 / 5790
↖ ↑ ↗
← S 59.489726°
W 18.325195°		 ← 2 480.84 m → S 59.489726°
W 18.281250°		 →
↑
2 480.04 m
↓
↑
2 480.04 m
↓
S 59.512030°
W 18.325195°		 ← 2 479.20 m →
6 150 542 m²		 S 59.512030°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44915771484375 y=0.70684814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44915771484375 × 213)
    floor (0.44915771484375 × 8192)
    floor (3679.5)     		tx = 3679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70684814453125 × 213)
    floor (0.70684814453125 × 8192)
    floor (5790.5)     		ty = 5790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3679 / 5790 ti = "13/3679/5790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3679/5790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3679 ÷ 213
    3679 ÷ 8192     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5790 ÷ 213
    5790 ÷ 8192     		y = 0.706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.41357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.299281727302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.299281727302))-π/2
    2×atan(0.272727615498832)-π/2
    2×0.266252368192118-π/2
    0.532504736384235-1.57079632675     		φ = -1.03829159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03829159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.489726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3679 KachelY 5790 -0.31983499 -1.03829159 -18.325195 -59.489726
    Oben rechts KachelX + 1 3680 KachelY 5790 -0.31906800 -1.03829159 -18.281250 -59.489726
    Unten links KachelX 3679 KachelY + 1 5791 -0.31983499 -1.03868086 -18.325195 -59.512030
    Unten rechts KachelX + 1 3680 KachelY + 1 5791 -0.31906800 -1.03868086 -18.281250 -59.512030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03829159--1.03868086) × R
    0.000389269999999886 × 6371000     		dl = 2480.03916999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03829159--1.03868086) × R
    0.000389269999999886 × 6371000     		dr = 2480.03916999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31906800) × cos(-1.03829159) × R
    0.000766989999999967 × 0.507692857778521 × 6371000     		do = 2480.83774291556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31906800) × cos(-1.03868086) × R
    0.000766989999999967 × 0.507357448370616 × 6371000     		du = 2479.19876709443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03829159)-sin(-1.03868086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507692857778521-0.507357448370616)×R²
    abs(-0.31906800--0.31983499)×0.000335409407904552×R²
    0.000766989999999967×0.000335409407904552×6371000²
    0.000766989999999967×0.000335409407904552×40589641000000     		ar = 6150542.49239089m²