Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36767 / 36894
↖ ↑ ↗
← S 22.095819°
E 21.967163°		 ← 565.99 m → S 22.095819°
E 21.972656°		 →
↑
566 m
↓
↑
566 m
↓
S 22.100910°
E 21.967163°		 ← 565.97 m →
320 343 m²		 S 22.100910°
E 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561027526855469 y=0.562965393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561027526855469 × 216)
    floor (0.561027526855469 × 65536)
    floor (36767.5)     		tx = 36767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562965393066406 × 216)
    floor (0.562965393066406 × 65536)
    floor (36894.5)     		ty = 36894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36767 / 36894 ti = "16/36767/36894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36767/36894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36767 ÷ 216
    36767 ÷ 65536     		x = 0.561019897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36894 ÷ 216
    36894 ÷ 65536     		y = 0.562957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561019897460938 × 2 - 1) × π
    0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.12591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.395575295664703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38339932} λ = 0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395575295664703))-π/2
    2×atan(0.673292585503807)-π/2
    2×0.592575760901272-π/2
    1.18515152180254-1.57079632675     		φ = -0.38564480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38564480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.095819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36767 KachelY 36894 0.38339932 -0.38564480 21.967163 -22.095819
    Oben rechts KachelX + 1 36768 KachelY 36894 0.38349520 -0.38564480 21.972656 -22.095819
    Unten links KachelX 36767 KachelY + 1 36895 0.38339932 -0.38573364 21.967163 -22.100910
    Unten rechts KachelX + 1 36768 KachelY + 1 36895 0.38349520 -0.38573364 21.972656 -22.100910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38564480--0.38573364) × R
    8.88399999999789e-05 × 6371000     		dl = 565.999639999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38564480--0.38573364) × R
    8.88399999999789e-05 × 6371000     		dr = 565.999639999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38339932-0.38349520) × cos(-0.38564480) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.926556079492476 × 6371000     		do = 565.988152460933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38339932-0.38349520) × cos(-0.38573364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.926522658078557 × 6371000     		du = 565.967736940777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38564480)-sin(-0.38573364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926556079492476-0.926522658078557)×R²
    abs(0.38349520-0.38339932)×3.34214139191547e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.34214139191547e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.34214139191547e-05×40589641000000     		ar = 320343.313159153m²