Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3676 / 5589
↖ ↑ ↗
← S 54.699233°
W 18.457032°		 ← 2 823.75 m → S 54.699233°
W 18.413086°		 →
↑
2 822.86 m
↓
↑
2 822.86 m
↓
S 54.724620°
W 18.457032°		 ← 2 821.98 m →
7 968 566 m²		 S 54.724620°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44879150390625 y=0.68231201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44879150390625 × 213)
    floor (0.44879150390625 × 8192)
    floor (3676.5)     		tx = 3676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68231201171875 × 213)
    floor (0.68231201171875 × 8192)
    floor (5589.5)     		ty = 5589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3676 / 5589 ti = "13/3676/5589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3676/5589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3676 ÷ 213
    3676 ÷ 8192     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5589 ÷ 213
    5589 ÷ 8192     		y = 0.6822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1451166581239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1451166581239))-π/2
    2×atan(0.318186796550478)-π/2
    2×0.308057301712267-π/2
    0.616114603424535-1.57079632675     		φ = -0.95468172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95468172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.699233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3676 KachelY 5589 -0.32213597 -0.95468172 -18.457032 -54.699233
    Oben rechts KachelX + 1 3677 KachelY 5589 -0.32136898 -0.95468172 -18.413086 -54.699233
    Unten links KachelX 3676 KachelY + 1 5590 -0.32213597 -0.95512480 -18.457032 -54.724620
    Unten rechts KachelX + 1 3677 KachelY + 1 5590 -0.32136898 -0.95512480 -18.413086 -54.724620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95468172--0.95512480) × R
    0.00044308000000004 × 6371000     		dl = 2822.86268000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95468172--0.95512480) × R
    0.00044308000000004 × 6371000     		dr = 2822.86268000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.32136898) × cos(-0.95468172) × R
    0.000766989999999967 × 0.577868544939017 × 6371000     		do = 2823.75076734645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.32136898) × cos(-0.95512480) × R
    0.000766989999999967 × 0.577506877409919 × 6371000     		du = 2821.9834813923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95468172)-sin(-0.95512480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577868544939017-0.577506877409919)×R²
    abs(-0.32136898--0.32213597)×0.000361667529098608×R²
    0.000766989999999967×0.000361667529098608×6371000²
    0.000766989999999967×0.000361667529098608×40589641000000     		ar = 7968566.38634899m²