Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3670 / 5521
↖ ↑ ↗
← S 52.935397°
W 18.720703°		 ← 2 945.16 m → S 52.935397°
W 18.676758°		 →
↑
2 944.29 m
↓
↑
2 944.29 m
↓
S 52.961875°
W 18.720703°		 ← 2 943.36 m →
8 668 774 m²		 S 52.961875°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44805908203125 y=0.67401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44805908203125 × 213)
    floor (0.44805908203125 × 8192)
    floor (3670.5)     		tx = 3670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67401123046875 × 213)
    floor (0.67401123046875 × 8192)
    floor (5521.5)     		ty = 5521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3670 / 5521 ti = "13/3670/5521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3670/5521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3670 ÷ 213
    3670 ÷ 8192     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5521 ÷ 213
    5521 ÷ 8192     		y = 0.6739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09296131133728))-π/2
    2×atan(0.335222324740573)-π/2
    2×0.323449682135773-π/2
    0.646899364271546-1.57079632675     		φ = -0.92389696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92389696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.935397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3670 KachelY 5521 -0.32673791 -0.92389696 -18.720703 -52.935397
    Oben rechts KachelX + 1 3671 KachelY 5521 -0.32597092 -0.92389696 -18.676758 -52.935397
    Unten links KachelX 3670 KachelY + 1 5522 -0.32673791 -0.92435910 -18.720703 -52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 3671 KachelY + 1 5522 -0.32597092 -0.92435910 -18.676758 -52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92389696--0.92435910) × R
    0.00046214 × 6371000     		dl = 2944.29394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92389696--0.92435910) × R
    0.00046214 × 6371000     		dr = 2944.29394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(-0.92389696) × R
    0.000766990000000023 × 0.602715136724911 × 6371000     		do = 2945.1634713878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(-0.92435910) × R
    0.000766990000000023 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 2943.36117662047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92389696)-sin(-0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602715136724911-0.602346304791586)×R²
    abs(-0.32597092--0.32673791)×0.000368831933324487×R²
    0.000766990000000023×0.000368831933324487×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368831933324487×40589641000000     		ar = 8668773.87262128m²