Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3670 / 5515
↖ ↑ ↗
← S 52.776186°
W 18.720703°		 ← 2 955.99 m → S 52.776186°
W 18.676758°		 →
↑
2 955.06 m
↓
↑
2 955.06 m
↓
S 52.802761°
W 18.720703°		 ← 2 954.18 m →
8 732 455 m²		 S 52.802761°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44805908203125 y=0.67327880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44805908203125 × 213)
    floor (0.44805908203125 × 8192)
    floor (3670.5)     		tx = 3670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67327880859375 × 213)
    floor (0.67327880859375 × 8192)
    floor (5515.5)     		ty = 5515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3670 / 5515 ti = "13/3670/5515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3670/5515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3670 ÷ 213
    3670 ÷ 8192     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5515 ÷ 213
    5515 ÷ 8192     		y = 0.6732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08835936897375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08835936897375))-π/2
    2×atan(0.336768553657355)-π/2
    2×0.32483905994871-π/2
    0.649678119897421-1.57079632675     		φ = -0.92111821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92111821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.776186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3670 KachelY 5515 -0.32673791 -0.92111821 -18.720703 -52.776186
    Oben rechts KachelX + 1 3671 KachelY 5515 -0.32597092 -0.92111821 -18.676758 -52.776186
    Unten links KachelX 3670 KachelY + 1 5516 -0.32673791 -0.92158204 -18.720703 -52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 3671 KachelY + 1 5516 -0.32597092 -0.92158204 -18.676758 -52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92111821--0.92158204) × R
    0.000463829999999943 × 6371000     		dl = 2955.06092999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92111821--0.92158204) × R
    0.000463829999999943 × 6371000     		dr = 2955.06092999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(-0.92111821) × R
    0.000766990000000023 × 0.604930128384539 × 6371000     		do = 2955.98701326998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(-0.92158204) × R
    0.000766990000000023 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 2954.18192827506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92111821)-sin(-0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604930128384539-0.604560725443044)×R²
    abs(-0.32597092--0.32673791)×0.000369402941494568×R²
    0.000766990000000023×0.000369402941494568×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369402941494568×40589641000000     		ar = 8732454.82098339m²