Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3669 / 5522
↖ ↑ ↗
← S 52.961875°
W 18.764649°		 ← 2 943.36 m → S 52.961875°
W 18.720703°		 →
↑
2 942.45 m
↓
↑
2 942.45 m
↓
S 52.988337°
W 18.764649°		 ← 2 941.56 m →
8 658 032 m²		 S 52.988337°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44793701171875 y=0.67413330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44793701171875 × 213)
    floor (0.44793701171875 × 8192)
    floor (3669.5)     		tx = 3669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67413330078125 × 213)
    floor (0.67413330078125 × 8192)
    floor (5522.5)     		ty = 5522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3669 / 5522 ti = "13/3669/5522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3669/5522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3669 ÷ 213
    3669 ÷ 8192     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5522 ÷ 213
    5522 ÷ 8192     		y = 0.674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.34814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0937283017312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0937283017312))-π/2
    2×atan(0.334965311013799)-π/2
    2×0.323218614501492-π/2
    0.646437229002984-1.57079632675     		φ = -0.92435910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92435910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.961875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3669 KachelY 5522 -0.32750490 -0.92435910 -18.764649 -52.961875
    Oben rechts KachelX + 1 3670 KachelY 5522 -0.32673791 -0.92435910 -18.720703 -52.961875
    Unten links KachelX 3669 KachelY + 1 5523 -0.32750490 -0.92482095 -18.764649 -52.988337
    Unten rechts KachelX + 1 3670 KachelY + 1 5523 -0.32673791 -0.92482095 -18.720703 -52.988337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92435910--0.92482095) × R
    0.000461849999999986 × 6371000     		dl = 2942.44634999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92435910--0.92482095) × R
    0.000461849999999986 × 6371000     		dr = 2942.44634999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(-0.92435910) × R
    0.000766989999999967 × 0.602346304791586 × 6371000     		do = 2943.36117662026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(-0.92482095) × R
    0.000766989999999967 × 0.601977575781921 × 6371000     		du = 2941.5593847887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92435910)-sin(-0.92482095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602346304791586-0.601977575781921)×R²
    abs(-0.32673791--0.32750490)×0.000368729009665225×R²
    0.000766989999999967×0.000368729009665225×6371000²
    0.000766989999999967×0.000368729009665225×40589641000000     		ar = 8658031.66687764m²