Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3663 / 5809
↖ ↑ ↗
← S 59.910976°
W 19.028320°		 ← 2 449.82 m → S 59.910976°
W 18.984375°		 →
↑
2 449.01 m
↓
↑
2 449.01 m
↓
S 59.933001°
W 19.028320°		 ← 2 448.19 m →
5 997 647 m²		 S 59.933001°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44720458984375 y=0.70916748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44720458984375 × 213)
    floor (0.44720458984375 × 8192)
    floor (3663.5)     		tx = 3663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70916748046875 × 213)
    floor (0.70916748046875 × 8192)
    floor (5809.5)     		ty = 5809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3663 / 5809 ti = "13/3663/5809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3663/5809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3663 ÷ 213
    3663 ÷ 8192     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5809 ÷ 213
    5809 ÷ 8192     		y = 0.7091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3138545447865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3138545447865))-π/2
    2×atan(0.268782024747987)-π/2
    2×0.262576269020057-π/2
    0.525152538040113-1.57079632675     		φ = -1.04564379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04564379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.910976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3663 KachelY 5809 -0.33210684 -1.04564379 -19.028320 -59.910976
    Oben rechts KachelX + 1 3664 KachelY 5809 -0.33133985 -1.04564379 -18.984375 -59.910976
    Unten links KachelX 3663 KachelY + 1 5810 -0.33210684 -1.04602819 -19.028320 -59.933001
    Unten rechts KachelX + 1 3664 KachelY + 1 5810 -0.33133985 -1.04602819 -18.984375 -59.933001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04564379--1.04602819) × R
    0.000384399999999951 × 6371000     		dl = 2449.01239999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04564379--1.04602819) × R
    0.000384399999999951 × 6371000     		dr = 2449.01239999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(-1.04564379) × R
    0.000766990000000023 × 0.501344992582908 × 6371000     		do = 2449.81894223155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(-1.04602819) × R
    0.000766990000000023 × 0.501012354420296 × 6371000     		du = 2448.19350808195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04564379)-sin(-1.04602819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501344992582908-0.501012354420296)×R²
    abs(-0.33133985--0.33210684)×0.00033263816261242×R²
    0.000766990000000023×0.00033263816261242×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033263816261242×40589641000000     		ar = 5997646.68693825m²