Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3662 / 5531
↖ ↑ ↗
← S 53.199452°
W 19.072266°		 ← 2 927.16 m → S 53.199452°
W 19.028320°		 →
↑
2 926.26 m
↓
↑
2 926.26 m
↓
S 53.225769°
W 19.072266°		 ← 2 925.36 m →
8 563 020 m²		 S 53.225769°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44708251953125 y=0.67523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44708251953125 × 213)
    floor (0.44708251953125 × 8192)
    floor (3662.5)     		tx = 3662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67523193359375 × 213)
    floor (0.67523193359375 × 8192)
    floor (5531.5)     		ty = 5531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3662 / 5531 ti = "13/3662/5531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3662/5531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3662 ÷ 213
    3662 ÷ 8192     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5531 ÷ 213
    5531 ÷ 8192     		y = 0.6751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10063121527649))-π/2
    2×atan(0.332661036684364)-π/2
    2×0.321145365426484-π/2
    0.642290730852968-1.57079632675     		φ = -0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3662 KachelY 5531 -0.33287383 -0.92850560 -19.072266 -53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 3663 KachelY 5531 -0.33210684 -0.92850560 -19.028320 -53.199452
    Unten links KachelX 3662 KachelY + 1 5532 -0.33287383 -0.92896491 -19.072266 -53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 3663 KachelY + 1 5532 -0.33210684 -0.92896491 -19.028320 -53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92850560--0.92896491) × R
    0.000459309999999991 × 6371000     		dl = 2926.26400999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92850560--0.92896491) × R
    0.000459309999999991 × 6371000     		dr = 2926.26400999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(-0.92850560) × R
    0.000766989999999967 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 2927.16220869486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(-0.92896491) × R
    0.000766989999999967 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 2925.36473916202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92850560)-sin(-0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.598663410660725)×R²
    abs(-0.33210684--0.33287383)×0.000367844469675971×R²
    0.000766989999999967×0.000367844469675971×6371000²
    0.000766989999999967×0.000367844469675971×40589641000000     		ar = 8563019.63807493m²