Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3660 / 5601
↖ ↑ ↗
← S 55.002826°
W 19.160156°		 ← 2 802.58 m → S 55.002826°
W 19.116211°		 →
↑
2 801.71 m
↓
↑
2 801.71 m
↓
S 55.028022°
W 19.160156°		 ← 2 800.82 m →
7 849 553 m²		 S 55.028022°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44683837890625 y=0.68377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44683837890625 × 213)
    floor (0.44683837890625 × 8192)
    floor (3660.5)     		tx = 3660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68377685546875 × 213)
    floor (0.68377685546875 × 8192)
    floor (5601.5)     		ty = 5601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3660 / 5601 ti = "13/3660/5601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3660/5601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3660 ÷ 213
    3660 ÷ 8192     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5601 ÷ 213
    5601 ÷ 8192     		y = 0.6837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15432054285095))-π/2
    2×atan(0.315271677740747)-π/2
    2×0.305407959266005-π/2
    0.610815918532011-1.57079632675     		φ = -0.95998041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95998041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.002826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3660 KachelY 5601 -0.33440781 -0.95998041 -19.160156 -55.002826
    Oben rechts KachelX + 1 3661 KachelY 5601 -0.33364082 -0.95998041 -19.116211 -55.002826
    Unten links KachelX 3660 KachelY + 1 5602 -0.33440781 -0.96042017 -19.160156 -55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 3661 KachelY + 1 5602 -0.33364082 -0.96042017 -19.116211 -55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95998041--0.96042017) × R
    0.000439760000000011 × 6371000     		dl = 2801.71096000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95998041--0.96042017) × R
    0.000439760000000011 × 6371000     		dr = 2801.71096000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33364082) × cos(-0.95998041) × R
    0.000766990000000023 × 0.573536033925229 × 6371000     		do = 2802.57998134893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33364082) × cos(-0.96042017) × R
    0.000766990000000023 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 2800.81938666443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95998041)-sin(-0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573536033925229-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.33364082--0.33440781)×0.000360298189317709×R²
    0.000766990000000023×0.000360298189317709×6371000²
    0.000766990000000023×0.000360298189317709×40589641000000     		ar = 7849552.83781119m²