Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3657 / 5493
↖ ↑ ↗
← S 52.187405°
W 19.291992°		 ← 2 995.81 m → S 52.187405°
W 19.248047°		 →
↑
2 994.94 m
↓
↑
2 994.94 m
↓
S 52.214339°
W 19.291992°		 ← 2 994 m →
8 969 578 m²		 S 52.214339°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44647216796875 y=0.67059326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44647216796875 × 213)
    floor (0.44647216796875 × 8192)
    floor (3657.5)     		tx = 3657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67059326171875 × 213)
    floor (0.67059326171875 × 8192)
    floor (5493.5)     		ty = 5493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3657 / 5493 ti = "13/3657/5493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3657/5493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3657 ÷ 213
    3657 ÷ 8192     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5493 ÷ 213
    5493 ÷ 8192     		y = 0.6705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0714855803075))-π/2
    2×atan(0.342499329033691)-π/2
    2×0.329977142966022-π/2
    0.659954285932044-1.57079632675     		φ = -0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3657 KachelY 5493 -0.33670878 -0.91084204 -19.291992 -52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 3658 KachelY 5493 -0.33594179 -0.91084204 -19.248047 -52.187405
    Unten links KachelX 3657 KachelY + 1 5494 -0.33670878 -0.91131213 -19.291992 -52.214339
    Unten rechts KachelX + 1 3658 KachelY + 1 5494 -0.33594179 -0.91131213 -19.248047 -52.214339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91084204--0.91131213) × R
    0.000470089999999979 × 6371000     		dl = 2994.94338999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91084204--0.91131213) × R
    0.000470089999999979 × 6371000     		dr = 2994.94338999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33594179) × cos(-0.91084204) × R
    0.000766989999999967 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 2995.81491371569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33594179) × cos(-0.91131213) × R
    0.000766989999999967 × 0.612709289905719 × 6371000     		du = 2993.99983384483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91084204)-sin(-0.91131213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.612709289905719)×R²
    abs(-0.33594179--0.33670878)×0.000371448350204973×R²
    0.000766989999999967×0.000371448350204973×6371000²
    0.000766989999999967×0.000371448350204973×40589641000000     		ar = 8969578.20794347m²