Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3654 / 5501
↖ ↑ ↗
← S 52.402419°
W 19.423828°		 ← 2 981.31 m → S 52.402419°
W 19.379883°		 →
↑
2 980.35 m
↓
↑
2 980.35 m
↓
S 52.429222°
W 19.423828°		 ← 2 979.50 m →
8 882 650 m²		 S 52.429222°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44610595703125 y=0.67156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44610595703125 × 213)
    floor (0.44610595703125 × 8192)
    floor (3654.5)     		tx = 3654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67156982421875 × 213)
    floor (0.67156982421875 × 8192)
    floor (5501.5)     		ty = 5501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3654 / 5501 ti = "13/3654/5501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3654/5501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3654 ÷ 213
    3654 ÷ 8192     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5501 ÷ 213
    5501 ÷ 8192     		y = 0.6715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07762150345886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07762150345886))-π/2
    2×atan(0.340404213777789)-π/2
    2×0.328100790726817-π/2
    0.656201581453635-1.57079632675     		φ = -0.91459475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91459475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.402419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3654 KachelY 5501 -0.33900975 -0.91459475 -19.423828 -52.402419
    Oben rechts KachelX + 1 3655 KachelY 5501 -0.33824276 -0.91459475 -19.379883 -52.402419
    Unten links KachelX 3654 KachelY + 1 5502 -0.33900975 -0.91506255 -19.423828 -52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 3655 KachelY + 1 5502 -0.33824276 -0.91506255 -19.379883 -52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91459475--0.91506255) × R
    0.000467800000000018 × 6371000     		dl = 2980.35380000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91459475--0.91506255) × R
    0.000467800000000018 × 6371000     		dr = 2980.35380000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(-0.91459475) × R
    0.000766990000000023 × 0.610111711339781 × 6371000     		do = 2981.30678361234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(-0.91506255) × R
    0.000766990000000023 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 2979.49530244928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91459475)-sin(-0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610111711339781-0.60974099944977)×R²
    abs(-0.33824276--0.33900975)×0.000370711890010811×R²
    0.000766990000000023×0.000370711890010811×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370711890010811×40589641000000     		ar = 8882649.73611098m²