Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3651 / 5503
↖ ↑ ↗
← S 52.456010°
W 19.555664°		 ← 2 977.72 m → S 52.456010°
W 19.511718°		 →
↑
2 976.79 m
↓
↑
2 976.79 m
↓
S 52.482780°
W 19.555664°		 ← 2 975.91 m →
8 861 350 m²		 S 52.482780°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44573974609375 y=0.67181396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44573974609375 × 213)
    floor (0.44573974609375 × 8192)
    floor (3651.5)     		tx = 3651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67181396484375 × 213)
    floor (0.67181396484375 × 8192)
    floor (5503.5)     		ty = 5503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3651 / 5503 ti = "13/3651/5503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3651/5503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3651 ÷ 213
    3651 ÷ 8192     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5503 ÷ 213
    5503 ÷ 8192     		y = 0.6717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0791554842467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0791554842467))-π/2
    2×atan(0.339882440551122)-π/2
    2×0.32763312522752-π/2
    0.65526625045504-1.57079632675     		φ = -0.91553008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91553008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.456010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3651 KachelY 5503 -0.34131073 -0.91553008 -19.555664 -52.456010
    Oben rechts KachelX + 1 3652 KachelY 5503 -0.34054373 -0.91553008 -19.511718 -52.456010
    Unten links KachelX 3651 KachelY + 1 5504 -0.34131073 -0.91599732 -19.555664 -52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 3652 KachelY + 1 5504 -0.34054373 -0.91599732 -19.511718 -52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91553008--0.91599732) × R
    0.00046723999999998 × 6371000     		dl = 2976.78603999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91553008--0.91599732) × R
    0.00046723999999998 × 6371000     		dr = 2976.78603999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34054373) × cos(-0.91553008) × R
    0.000767000000000018 × 0.609370368205133 × 6371000     		do = 2977.72303834544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34054373) × cos(-0.91599732) × R
    0.000767000000000018 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 2975.91240076208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91553008)-sin(-0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609370368205133-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.34054373--0.34131073)×0.00037053442400381×R²
    0.000767000000000018×0.00037053442400381×6371000²
    0.000767000000000018×0.00037053442400381×40589641000000     		ar = 8861349.59240646m²