Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3648 / 5484
↖ ↑ ↗
← S 51.944265°
W 19.687500°		 ← 3 012.17 m → S 51.944265°
W 19.643555°		 →
↑
3 011.25 m
↓
↑
3 011.25 m
↓
S 51.971346°
W 19.687500°		 ← 3 010.35 m →
9 067 668 m²		 S 51.971346°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44537353515625 y=0.66949462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44537353515625 × 213)
    floor (0.44537353515625 × 8192)
    floor (3648.5)     		tx = 3648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66949462890625 × 213)
    floor (0.66949462890625 × 8192)
    floor (5484.5)     		ty = 5484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3648 / 5484 ti = "13/3648/5484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3648/5484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3648 ÷ 213
    3648 ÷ 8192     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5484 ÷ 213
    5484 ÷ 8192     		y = 0.66943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66943359375 × 2 - 1) × π
    -0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06458266676221))-π/2
    2×atan(0.344871751183298)-π/2
    2×0.332098938573274-π/2
    0.664197877146547-1.57079632675     		φ = -0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3648 KachelY 5484 -0.34361170 -0.90659845 -19.687500 -51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 3649 KachelY 5484 -0.34284471 -0.90659845 -19.643555 -51.944265
    Unten links KachelX 3648 KachelY + 1 5485 -0.34361170 -0.90707110 -19.687500 -51.971346
    Unten rechts KachelX + 1 3649 KachelY + 1 5485 -0.34284471 -0.90707110 -19.643555 -51.971346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90659845--0.90707110) × R
    0.000472650000000074 × 6371000     		dl = 3011.25315000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90659845--0.90707110) × R
    0.000472650000000074 × 6371000     		dr = 3011.25315000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34284471) × cos(-0.90659845) × R
    0.000766990000000023 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 3012.16996677427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34284471) × cos(-0.90707110) × R
    0.000766990000000023 × 0.616055491192557 × 6371000     		du = 3010.35102398017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90659845)-sin(-0.90707110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616055491192557)×R²
    abs(-0.34284471--0.34361170)×0.000372238880961828×R²
    0.000766990000000023×0.000372238880961828×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372238880961828×40589641000000     		ar = 9067667.82098717m²