Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3646 / 5592
↖ ↑ ↗
← S 54.775346°
W 19.775391°		 ← 2 818.45 m → S 54.775346°
W 19.731445°		 →
↑
2 817.57 m
↓
↑
2 817.57 m
↓
S 54.800685°
W 19.775391°		 ← 2 816.68 m →
7 938 708 m²		 S 54.800685°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44512939453125 y=0.68267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44512939453125 × 213)
    floor (0.44512939453125 × 8192)
    floor (3646.5)     		tx = 3646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68267822265625 × 213)
    floor (0.68267822265625 × 8192)
    floor (5592.5)     		ty = 5592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3646 / 5592 ti = "13/3646/5592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3646/5592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3646 ÷ 213
    3646 ÷ 8192     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5592 ÷ 213
    5592 ÷ 8192     		y = 0.6826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6826171875 × 2 - 1) × π
    -0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14741762930566))-π/2
    2×atan(0.317455499570489)-π/2
    2×0.30739309632463-π/2
    0.61478619264926-1.57079632675     		φ = -0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3646 KachelY 5592 -0.34514568 -0.95601013 -19.775391 -54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 3647 KachelY 5592 -0.34437869 -0.95601013 -19.731445 -54.775346
    Unten links KachelX 3646 KachelY + 1 5593 -0.34514568 -0.95645238 -19.775391 -54.800685
    Unten rechts KachelX + 1 3647 KachelY + 1 5593 -0.34437869 -0.95645238 -19.731445 -54.800685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95601013--0.95645238) × R
    0.000442249999999977 × 6371000     		dl = 2817.57474999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95601013--0.95645238) × R
    0.000442249999999977 × 6371000     		dr = 2817.57474999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.95601013) × R
    0.000766990000000023 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 2818.45056095917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.95645238) × R
    0.000766990000000023 × 0.576422551323008 × 6371000     		du = 2816.68492924464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95601013)-sin(-0.95645238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.576422551323008)×R²
    abs(-0.34437869--0.34514568)×0.000361328996019372×R²
    0.000766990000000023×0.000361328996019372×6371000²
    0.000766990000000023×0.000361328996019372×40589641000000     		ar = 7938707.86440366m²