Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3643 / 5485
↖ ↑ ↗
← S 51.971346°
W 19.907227°		 ← 3 010.35 m → S 51.971346°
W 19.863281°		 →
↑
3 009.47 m
↓
↑
3 009.47 m
↓
S 51.998411°
W 19.907227°		 ← 3 008.53 m →
9 056 823 m²		 S 51.998411°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44476318359375 y=0.66961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44476318359375 × 213)
    floor (0.44476318359375 × 8192)
    floor (3643.5)     		tx = 3643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66961669921875 × 213)
    floor (0.66961669921875 × 8192)
    floor (5485.5)     		ty = 5485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3643 / 5485 ti = "13/3643/5485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3643/5485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3643 ÷ 213
    3643 ÷ 8192     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5485 ÷ 213
    5485 ÷ 8192     		y = 0.6695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06534965715613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06534965715613))-π/2
    2×atan(0.344607339276664)-π/2
    2×0.331862612878319-π/2
    0.663725225756637-1.57079632675     		φ = -0.90707110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90707110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.971346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3643 KachelY 5485 -0.34744665 -0.90707110 -19.907227 -51.971346
    Oben rechts KachelX + 1 3644 KachelY 5485 -0.34667966 -0.90707110 -19.863281 -51.971346
    Unten links KachelX 3643 KachelY + 1 5486 -0.34744665 -0.90754347 -19.907227 -51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 3644 KachelY + 1 5486 -0.34667966 -0.90754347 -19.863281 -51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90707110--0.90754347) × R
    0.00047237 × 6371000     		dl = 3009.46927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90707110--0.90754347) × R
    0.00047237 × 6371000     		dr = 3009.46927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34667966) × cos(-0.90707110) × R
    0.000766990000000023 × 0.616055491192557 × 6371000     		do = 3010.35102398017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34667966) × cos(-0.90754347) × R
    0.000766990000000023 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 3008.53248682697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90707110)-sin(-0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616055491192557-0.615683335324272)×R²
    abs(-0.34667966--0.34744665)×0.000372155868284763×R²
    0.000766990000000023×0.000372155868284763×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372155868284763×40589641000000     		ar = 9056822.65114604m²