Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3642 / 5597
↖ ↑ ↗
← S 54.901882°
W 19.951172°		 ← 2 809.63 m → S 54.901882°
W 19.907227°		 →
↑
2 808.72 m
↓
↑
2 808.72 m
↓
S 54.927142°
W 19.951172°		 ← 2 807.87 m →
7 888 980 m²		 S 54.927142°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44464111328125 y=0.68328857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44464111328125 × 213)
    floor (0.44464111328125 × 8192)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68328857421875 × 213)
    floor (0.68328857421875 × 8192)
    floor (5597.5)     		ty = 5597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3642 / 5597 ti = "13/3642/5597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3642/5597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 213
    3642 ÷ 8192     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5597 ÷ 213
    5597 ÷ 8192     		y = 0.6832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15125258127527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15125258127527))-π/2
    2×atan(0.316240404382178)-π/2
    2×0.306288858550961-π/2
    0.612577717101922-1.57079632675     		φ = -0.95821861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95821861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.901882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 5597 -0.34821364 -0.95821861 -19.951172 -54.901882
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 5597 -0.34744665 -0.95821861 -19.907227 -54.901882
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 5598 -0.34821364 -0.95865947 -19.951172 -54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 5598 -0.34744665 -0.95865947 -19.907227 -54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95821861--0.95865947) × R
    0.000440859999999987 × 6371000     		dl = 2808.71905999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95821861--0.95865947) × R
    0.000440859999999987 × 6371000     		dr = 2808.71905999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.95821861) × R
    0.000766989999999967 × 0.574978374978823 × 6371000     		do = 2809.627971229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.95865947) × R
    0.000766989999999967 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 2807.865150813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95821861)-sin(-0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574978374978823-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.34744665--0.34821364)×0.000360753675772041×R²
    0.000766989999999967×0.000360753675772041×6371000²
    0.000766989999999967×0.000360753675772041×40589641000000     		ar = 7888980.12842154m²