Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3642 / 5593
↖ ↑ ↗
← S 54.800685°
W 19.951172°		 ← 2 816.68 m → S 54.800685°
W 19.907227°		 →
↑
2 815.85 m
↓
↑
2 815.85 m
↓
S 54.826008°
W 19.951172°		 ← 2 814.92 m →
7 928 890 m²		 S 54.826008°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44464111328125 y=0.68280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44464111328125 × 213)
    floor (0.44464111328125 × 8192)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68280029296875 × 213)
    floor (0.68280029296875 × 8192)
    floor (5593.5)     		ty = 5593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3642 / 5593 ti = "13/3642/5593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3642/5593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 213
    3642 ÷ 8192     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5593 ÷ 213
    5593 ÷ 8192     		y = 0.6827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14818461969959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14818461969959))-π/2
    2×atan(0.317212107603403)-π/2
    2×0.307171971765603-π/2
    0.614343943531207-1.57079632675     		φ = -0.95645238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95645238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.800685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 5593 -0.34821364 -0.95645238 -19.951172 -54.800685
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 5593 -0.34744665 -0.95645238 -19.907227 -54.800685
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 5594 -0.34821364 -0.95689436 -19.951172 -54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 5594 -0.34744665 -0.95689436 -19.907227 -54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95645238--0.95689436) × R
    0.000441980000000064 × 6371000     		dl = 2815.85458000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95645238--0.95689436) × R
    0.000441980000000064 × 6371000     		dr = 2815.85458000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.95645238) × R
    0.000766989999999967 × 0.576422551323008 × 6371000     		do = 2816.68492924444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.95689436) × R
    0.000766989999999967 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 2814.91982507636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95645238)-sin(-0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576422551323008-0.576061330287118)×R²
    abs(-0.34744665--0.34821364)×0.000361221035889425×R²
    0.000766989999999967×0.000361221035889425×6371000²
    0.000766989999999967×0.000361221035889425×40589641000000     		ar = 7928890.14917625m²