Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3642 / 5479
↖ ↑ ↗
← S 51.808615°
W 19.951172°		 ← 3 021.27 m → S 51.808615°
W 19.907227°		 →
↑
3 020.36 m
↓
↑
3 020.36 m
↓
S 51.835778°
W 19.951172°		 ← 3 019.45 m →
9 122 587 m²		 S 51.835778°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44464111328125 y=0.66888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44464111328125 × 213)
    floor (0.44464111328125 × 8192)
    floor (3642.5)     		tx = 3642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66888427734375 × 213)
    floor (0.66888427734375 × 8192)
    floor (5479.5)     		ty = 5479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3642 / 5479 ti = "13/3642/5479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3642/5479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3642 ÷ 213
    3642 ÷ 8192     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5479 ÷ 213
    5479 ÷ 8192     		y = 0.6688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0607477147926))-π/2
    2×atan(0.346196857019366)-π/2
    2×0.333282709247098-π/2
    0.666565418494195-1.57079632675     		φ = -0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3642 KachelY 5479 -0.34821364 -0.90423091 -19.951172 -51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 3643 KachelY 5479 -0.34744665 -0.90423091 -19.907227 -51.808615
    Unten links KachelX 3642 KachelY + 1 5480 -0.34821364 -0.90470499 -19.951172 -51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 3643 KachelY + 1 5480 -0.34744665 -0.90470499 -19.907227 -51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90423091--0.90470499) × R
    0.000474080000000043 × 6371000     		dl = 3020.36368000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90423091--0.90470499) × R
    0.000474080000000043 × 6371000     		dr = 3020.36368000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.90423091) × R
    0.000766989999999967 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 3021.27105486985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34744665) × cos(-0.90470499) × R
    0.000766989999999967 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 3019.44999280958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90423091)-sin(-0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.617917556336133)×R²
    abs(-0.34744665--0.34821364)×0.000372672579740163×R²
    0.000766989999999967×0.000372672579740163×6371000²
    0.000766989999999967×0.000372672579740163×40589641000000     		ar = 9122587.39757127m²