Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3641 / 5623
↖ ↑ ↗
← S 55.553496°
W 19.995117°		 ← 2 763.98 m → S 55.553496°
W 19.951172°		 →
↑
2 763.10 m
↓
↑
2 763.10 m
↓
S 55.578345°
W 19.995117°		 ← 2 762.23 m →
7 634 743 m²		 S 55.578345°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44451904296875 y=0.68646240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44451904296875 × 213)
    floor (0.44451904296875 × 8192)
    floor (3641.5)     		tx = 3641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68646240234375 × 213)
    floor (0.68646240234375 × 8192)
    floor (5623.5)     		ty = 5623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3641 / 5623 ti = "13/3641/5623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3641/5623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3641 ÷ 213
    3641 ÷ 8192     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5623 ÷ 213
    5623 ÷ 8192     		y = 0.6864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17119433151721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17119433151721))-π/2
    2×atan(0.309996481515545)-π/2
    2×0.300602460036049-π/2
    0.601204920072098-1.57079632675     		φ = -0.96959141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96959141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.553496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3641 KachelY 5623 -0.34898063 -0.96959141 -19.995117 -55.553496
    Oben rechts KachelX + 1 3642 KachelY 5623 -0.34821364 -0.96959141 -19.951172 -55.553496
    Unten links KachelX 3641 KachelY + 1 5624 -0.34898063 -0.97002511 -19.995117 -55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 3642 KachelY + 1 5624 -0.34821364 -0.97002511 -19.951172 -55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96959141--0.97002511) × R
    0.000433699999999981 × 6371000     		dl = 2763.10269999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96959141--0.97002511) × R
    0.000433699999999981 × 6371000     		dr = 2763.10269999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34821364) × cos(-0.96959141) × R
    0.000766990000000023 × 0.565636524017402 × 6371000     		do = 2763.97907919004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34821364) × cos(-0.97002511) × R
    0.000766990000000023 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 2762.23115163405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96959141)-sin(-0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565636524017402-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.34821364--0.34898063)×0.000357705915521755×R²
    0.000766990000000023×0.000357705915521755×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357705915521755×40589641000000     		ar = 7634743.32445256m²