Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3640 / 5624
↖ ↑ ↗
← S 55.578345°
W 20.039063°		 ← 2 762.23 m → S 55.578345°
W 19.995117°		 →
↑
2 761.32 m
↓
↑
2 761.32 m
↓
S 55.603178°
W 20.039063°		 ← 2 760.48 m →
7 624 989 m²		 S 55.603178°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44439697265625 y=0.68658447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44439697265625 × 213)
    floor (0.44439697265625 × 8192)
    floor (3640.5)     		tx = 3640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68658447265625 × 213)
    floor (0.68658447265625 × 8192)
    floor (5624.5)     		ty = 5624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3640 / 5624 ti = "13/3640/5624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3640/5624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3640 ÷ 213
    3640 ÷ 8192     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5624 ÷ 213
    5624 ÷ 8192     		y = 0.6865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    -0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17196132191113))-π/2
    2×atan(0.309758808350242)-π/2
    2×0.300385609738003-π/2
    0.600771219476006-1.57079632675     		φ = -0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3640 KachelY 5624 -0.34974762 -0.97002511 -20.039063 -55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 3641 KachelY 5624 -0.34898063 -0.97002511 -19.995117 -55.578345
    Unten links KachelX 3640 KachelY + 1 5625 -0.34974762 -0.97045853 -20.039063 -55.603178
    Unten rechts KachelX + 1 3641 KachelY + 1 5625 -0.34898063 -0.97045853 -19.995117 -55.603178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97002511--0.97045853) × R
    0.000433420000000018 × 6371000     		dl = 2761.31882000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97002511--0.97045853) × R
    0.000433420000000018 × 6371000     		dr = 2761.31882000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.97002511) × R
    0.000766989999999967 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 2762.23115163385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.97045853) × R
    0.000766989999999967 × 0.564921236900427 × 6371000     		du = 2760.48383349232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97002511)-sin(-0.97045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.564921236900427)×R²
    abs(-0.34898063--0.34974762)×0.000357581201453794×R²
    0.000766989999999967×0.000357581201453794×6371000²
    0.000766989999999967×0.000357581201453794×40589641000000     		ar = 7624988.53232638m²