Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3640 / 5541
↖ ↑ ↗
← S 53.461890°
W 20.039063°		 ← 2 909.21 m → S 53.461890°
W 19.995117°		 →
↑
2 908.30 m
↓
↑
2 908.30 m
↓
S 53.488045°
W 20.039063°		 ← 2 907.42 m →
8 458 241 m²		 S 53.488045°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44439697265625 y=0.67645263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44439697265625 × 213)
    floor (0.44439697265625 × 8192)
    floor (3640.5)     		tx = 3640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67645263671875 × 213)
    floor (0.67645263671875 × 8192)
    floor (5541.5)     		ty = 5541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3640 / 5541 ti = "13/3640/5541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3640/5541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3640 ÷ 213
    3640 ÷ 8192     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5541 ÷ 213
    5541 ÷ 8192     		y = 0.6763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1083011192157))-π/2
    2×atan(0.330119318316754)-π/2
    2×0.318855157209954-π/2
    0.637710314419908-1.57079632675     		φ = -0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3640 KachelY 5541 -0.34974762 -0.93308601 -20.039063 -53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 3641 KachelY 5541 -0.34898063 -0.93308601 -19.995117 -53.461890
    Unten links KachelX 3640 KachelY + 1 5542 -0.34974762 -0.93354250 -20.039063 -53.488045
    Unten rechts KachelX + 1 3641 KachelY + 1 5542 -0.34898063 -0.93354250 -19.995117 -53.488045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93308601--0.93354250) × R
    0.000456490000000032 × 6371000     		dl = 2908.2977900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93308601--0.93354250) × R
    0.000456490000000032 × 6371000     		dr = 2908.2977900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.93308601) × R
    0.000766989999999967 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 2909.20960962667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.93354250) × R
    0.000766989999999967 × 0.59499049838923 × 6371000     		du = 2907.4170779926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93308601)-sin(-0.93354250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.59499049838923)×R²
    abs(-0.34898063--0.34974762)×0.000366833949765111×R²
    0.000766989999999967×0.000366833949765111×6371000²
    0.000766989999999967×0.000366833949765111×40589641000000     		ar = 8458241.41730771m²